Bài 4: Đường thẳng song song và đường thẳng cắt nhau

Tóm tắt lý thuyết

1.1. Đường thẳng song song

Cho đường thẳng d có phương trình là \(y=ax+b(a\neq0)\) và đường thẳng d’ có phương trình là \(y=a’x+b'(a’\neq0)\). Khi đó d và d’ song song khi và chỉ khi \(a=a’\) và \(b\neq b’\)

Chú ý: nếu a=a’ và b=b’ thì d trùng d’

1.2. Đường thẳng cắt nhau

Cho đường thẳng d có phương trình là \(y=ax+b(a\neq0)\) và đường thẳng d’ có phương trình là \(y=a’x+b'(a’\neq0)\). Khi đó d và d’ cắt nhau khi và chỉ khi \(a\neq a’\)

Chú ý: nếu \(a\neq a’\) và b=b’ thì d cắt d’ tại một điểm trên trục tung có tung độ là b

Bài tập minh họa





2.1. Bài tập cơ bản

Bài 1: Tìm giá trị của m để hai đường thẳng \(y=2x+3\) và \(y=(m-1)x+2\) song song với nhau.

Hướng dẫn: Để hai đường thẳng đã cho song song thì \(2=m-1\) hay \(m=3\)

Bài 2: Tìm giá trị của m để hai đường thẳng \(y=mx+1\) và \(y=(3m-4)x-2\) cắt nhau.

Hướng dẫn: Để hai đường thẳng đã cho cắt nhau thì \(m \neq 3m-4\) hay \(m \neq 2\)

Bài 3: Tìm phương trình đường thẳng d biết d song song với đường thẳng \(y=2x+1\) và d đi qua \(A(1;2)\)

Hướng dẫn: Gọi \((d):y=ax+b\), d song song với \(y=2x+1\) nên \(a=2\), d đi qua \(A(1;2)\) nên \(2=2.1+b\) hay \(b=0\), tức là \((d):y=2x\)

2.2. Bài tập nâng cao

Bài 1: Xác định các hệ số a và b để đường thẳng \(y=ax+b\) cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng -2 và song song với đường thẳng OA, trong đó O là gốc tọa độ, \(A(2;1).\)

Hướng dẫn: Đường thẳng OA có phương trình là \(x-2y=0\) nên \(a=\frac{1}{2}\). Mặt khác đường thẳng đã cho đi qua điểm \((0;-2)\) nên tìm được \(b=-2\)

Bài 2: Cho ba điểm \(A(-1;6), B(-4;4), C(1;1)\). Tìm tọa độ D sao cho \(ABCD\) là hình bình hành.

Hướng dẫn:

Đường thẳng AB có phương trình \(2x-3y+20=0\)

Đường thẳng BC có phương trình \(3x+5y-8=0\)

Đường thẳng qua A và song song với BC có phương trình \(3x+5y-27=0\)

Đường thẳng qua C và song song AB có phương trình \(2x-3y+1=0\)

Khi đó là tọa độ D là nghiệm của hệ phương trình \(\left\{\begin{matrix}3x+5y=27\\2x-3y=-1 \end{matrix}\right.\)

Giải hệ ta được \(\left\{\begin{matrix} x=4\\ y=3 \end{matrix}\right.\). Vậy \(D(4;3)\)