Bài 6: Diện tích đa giác

Tóm tắt lý thuyết

Kiến thức cần nhớ

Với một đa giác bất kì không có công thức tính cụ thể, ta có thể thực hiện các cách sau để tính diện tích đa giác:

  • Chia đa giác đó thành các tam giác riêng biệt rồi tính diện tích từng tam giác sau đó cộng các kết quả lại với nhau.

Ở hình vẽ trên ta có thể lần lượt tính diện tích các tam giác ABC,ACD,ADE rồi cộng lại để được diện tích đa giác ABCDE.

  • Tạo ra một tam giác chứa đa giác đó rồi tính diện tích đa giác bằng cách lấy tam giác lớn trừ đi diện tích của các “phần thừa”.

Với hình trên ta có thể lấy diện tích tam giác AFG trừ đi phần diện tích của BCF và DEG để được diện tích đa giác ABCDE.

  • Với một số hình đặc biết ta có thể chia đa giác thành nhiều phần , mà mỗi phần đều là những hình mà ta dễ tính diện tích như hình thang vuông, hình thoi, hình chữ nhật, hình vuông,…

Chẳng hạn với hình trên ta có thể chia thành các hình gồm một hình thoi CEFG, một hình thang vuông ABCH và một tam giác vuông CDE để tính diện tích.

 

Bài tập minh họa


Bài 1: Qua một điểm O thuộc đường chéo BD, ta kẻ các đường thẳng EF // AB và GH // AD. Chứng minh \({S_{A{\rm{E}}OG}} = {S_{CF{\rm{O}}HA}}\)

Hướng dẫn giải:

Ta có:

\(\begin{array}{l}
\Delta AB{\rm{D}} = \Delta C{\rm{D}}B \Rightarrow {S_{AB{\rm{D}}}} = {S_{CB{\rm{D}}}}\,\,\left( 1 \right)\\
\Delta EO{\rm{D}} = \Delta H{\rm{DO}} \Rightarrow {S_{{\rm{EOD}}}} = {S_{{\rm{HDO}}}}\,\,\left( 2 \right)\\
\Delta GBO = \Delta F{\rm{O}}B \Rightarrow {S_{GBO}} = {S_{F{\rm{O}}B}}\,\,\left( 3 \right)\\
{S_{A{\rm{E}}OG}} = {S_{AB{\rm{D}}}} – \left( {{S_{EO{\rm{D}}}} + {S_{GBO}}} \right)\,\,\left( 4 \right)\\
{S_{CF{\rm{O}}H}} = {S_{C{\rm{D}}B}} – \left( {{S_{H{\rm{D}}O}} + {S_{F{\rm{O}}B}}} \right)\,\,\left( 5 \right)
\end{array}\)

Từ (1), (2), (3), (4), (5) ta được: \({S_{A{\rm{E}}OG}} = {S_{CF{\rm{O}}H}}\)

Bài 2: Cho tam giác ABC cân tại đỉnh A. Một điểm D bất kì lấy trên các cạnh đáy BC, ta kẻ \(DE \bot AB,DF \bot AC\). Chứng minh rằng tổng DE + DF không phụ thuộc vào vị trí điểm D mà ta chọn trên BC

Hướng dẫn giải:

Ta có:

\(\begin{array}{l}
{S_{A{\rm{D}}B}} = \frac{1}{2}DE.AB = \frac{1}{2}DE.AC\\
{S_{A{\rm{D}}C}} = \frac{1}{2}DF.AC
\end{array}\)

Kẻ đường cao BH

\(\begin{array}{l}
{S_{A{\rm{D}}B}} + {S_{A{\rm{D}}C}} = \frac{1}{2}AC.\left( {DE + DF} \right)\\
{S_{ABC}} = \frac{1}{2}AC.BH
\end{array}\)

\(\begin{array}{l}
{S_{A{\rm{D}}B}} + {S_{A{\rm{D}}C}} = {S_{ABC}} \Rightarrow AC\left( {DE + DF} \right) = AC.BH \Rightarrow DE + DF = BH\\

\end{array}\)

Tổng DE+DF luôn bằng một độ dài không đổi. Vậy nó không phụ thuộc vào vị trí của điểm D