Bài 5: Những hằng đẳng thức đáng nhớ (tiếp)

Tóm tắt lý thuyết

1.1 Kiến thức cần nhớ

1. Tổng của hai lâp phương: \({A^3} + {B^3} = (A + B)({A^2} – AB + {B^2})\)

2. Hiệu của hai lâp phương: \({A^3} – {B^3} = (A – B)({A^2} + AB + {B^2})\)

Cũng như các hằng đẳng thức trước, việc chứng minh hai hằng đẳng thức này cũng dựa vào quy tắc Nhân đa thức với đa thức mà chúng ta đa học.

Bài tập minh họa


Bài 1: Viết lại biểu thức sau dưới dạng tổng hoặc hiệu :

\(\left( {2x – 4{y^2}} \right)\left( {4{x^2} + 8x{y^2} + 16{y^4}} \right)\)

 

Hướng dẫn:

\(\begin{array}{l} \left( {2x – 4{y^2}} \right)\left( {4{x^2} + 8x{y^2} + 16{y^4}} \right)\\ = \left( {2x – 4{y^2}} \right)\left[ {{{\left( {2x} \right)}^2} + \left( {2x} \right)\left( {4{y^2}} \right) + {{\left( {4{y^2}} \right)}^2}} \right]\\ = {\left( {2x} \right)^3}-{\left( {4{y^2}} \right)^3}\\ = 8{x^3} – 64{y^6} \end{array}\)

Bài 2: Chứng minh rằng:\(({x^3} + {y^3})({x^3} – {y^3}) = ({x^2} – {y^2})({x^4} + {x^2}{y^2} + {y^4})\)

Hướng dẫn:

Ta có vế trái:  \(({x^3} + {y^3})({x^3} – {y^3}) = {\left( {{x^3}} \right)^2} – {\left( {{y^3}} \right)^2} = {x^6} – {y^6}\)
Ta có vế phải:
\(\begin{array}{l} ({x^2} – {y^2})({x^4} + {x^2}{y^2} + {y^4})\\ = ({x^2} – {y^2})\left[ {{{\left( {{x^2}} \right)}^2} + {x^2}{y^2} + {{\left( {{y^2}} \right)}^2}} \right]\\ = {\left( {{x^2}} \right)^3} – {\left( {{y^2}} \right)^3}\\ = {x^6} – {y^6}\\ \end{array}\)
Nhận thấy rằng vế trái bằng với vế phải.
Vậy ta có điều cần chứng minh.

 

Bài 3: Chứng minh rằng: \(({11^3} – 1)^n\) chia hết cho \(10^n\).

Hướng dẫn:

Ta có thể biến đổi biểu thức như sau:

\(\begin{array}{l} {\left( {{{11}^3} – 1} \right)^n}\\ = {\left[ {(11 – 1)({{11}^2} + 11 + 1)} \right]^n}\\ = {\left[ {(10)({{11}^2} + 11 + 1)} \right]^n}\\ = {10^n}{({11^2} + 11 + 1)^n} \end{array}\)

nhận thấy rằng biểu thức này chia hết cho  \(10^n\). Vậy ta có điều cần chứng minh.