Bài 4: Bất phương trình bậc nhất một ẩn – Luyện tập

Tóm tắt lý thuyết

1.1 Hai quy tắc biến đổi bất phương trình

a. Quy tắc chuyển vế

Với các bất đẳng thức, ta có thể biến đổi:

\(a + b < c \Leftrightarrow a + b – c < 0 \to \) chuyển vế và đổi dấu.

Và với các bất phương trình chúng ta cũng có được quy tắc như vậy, cụ thể:

(Quy tắc chuyển vế): Khi chuyển một hạng tử của bất phương trình từ vế này sang vế kia ta phải đổi dấu hạng tử đó.

b.  Quy tắc nhân với một số

Quy tắc nhân với một số: Khi nhân (hoặc chia) cả hai vế của bất phương trình với cùng một số khác 0, ta phải:

1. Giữ nguyên chiều của bất phương trình nếu số đó dương.

2. Đổi chiều của bất phương trình nếu số đó âm.

Ví dụ 1: Sử dụng hai quy tắc biến đổi bất phương trình để các bất phương trình sau:

a. 3x > x + 8                 b. \({x^2} + 2x > {x^2} – 4\)

Giải

a. Sử dụng lần lượt các quy tắc, biến đổi bất phương trình về dạng:

\(3x – x > 8 \Leftrightarrow 2x > 8 \Leftrightarrow x > 4\)

Vậy bất phương trình có nghiệm x > 4.

b. Sử dụng lần lượt các quy tắc, biến đổi bất phương trình về dạng:

\({x^2} + 2x > {x^2} – 4 \Leftrightarrow {x^2} + 2x – {x^2} >  – 4 \Leftrightarrow 2x >  – 4 \Leftrightarrow x >  – 2\)

Vậy bất phương trình có nghiệm x >  -2.

1.2. Định nghĩa phương trình bậc nhất một ẩn

Định nghĩa: Bất phương trình dạng:

\(ax + b > 0,{\rm{ }}ax + b < 0,\,ax + b \le 0,ax + b \ge 0\)

Với a và b là hai số đã cho và \(a \ne 0,\) được gọi là bất phương trình bậc nhất một ẩn.


Ví dụ 2: Tìm điều kiện của tham số m để phương trình sau là phương trình bậc nhất một ẩn:

a. \(({m^2} – 2m){x^2} + mx + 3 > 0\)

b. \(mx + (m – 1)y + 4 \le 0.\)

Giải

a. Để bất phương trình:

\(({m^2} – 2m){x^2} + mx + 3 > 0\) là bất phương trình bậc nhất một ẩn khi và chỉ khi:

\(\left\{ \begin{array}{l}{m^2} – 2m = 0\\m \ne 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m(m – 2) = 0\\m \ne 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m = 0\,\,{\rm{or}}\,\,m\, = 2\\m \ne 0\end{array} \right. \Leftrightarrow m = 2\)

Vậy với m = 2 bất phương trình đã cho là một bất phương trình bậc nhất ẩn x.

b. Để bất phương trình: \(mx + (m – 1)y + 4 \le 0\) là bất phương trình bậc nhất một ẩn có hai trường hợp:

Trường hợp 1: Nó là bất phương trình bậc nhất một ẩn x khi và chỉ khi:

\(\left\{ \begin{array}{l}m \ne 0\\m – 1 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m \ne 0\\m = 1\end{array} \right. \Leftrightarrow m = 1\)

Trường hợp 2: Nó là bất phương trình bậc nhất một ẩn y khi và chỉ khi:

\(\left\{ \begin{array}{l}m = 0\\m – 1 \ne 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m = 0\\m \ne 1\end{array} \right. \Leftrightarrow m = 0\)

Kết luận:

* Với m = 1, bất phương trình đã cho là một bất phương trình bậc nhất một ẩn

* Với m = 0, bất phương trình đã cho là một bất phương trình bậc nhất một ẩn.


Ví dụ 3: Giải các bất phương trình sau:

a. 2x – 3 > 0

b. 6 – 3x \( \le \) 0

Giải

a. Biến đổi tương đương bất phương trình về dạng: \(2x > 3 \Leftrightarrow x > \frac{3}{2}.\)

Vậy bất phương trình có nghiệm \(x > \frac{3}{2}.\)

b. Biến đổi tương đương bất phương trình về dạng: \(3x \le  – 6 \Leftrightarrow x \ge 2\)

Vậy bất phương trình có nghiệm \(x \ge 2.\)

Bài tập minh họa


Bài 1: So sánh số a với số b, biết:

a. \(x < 2 \Leftrightarrow (a – b)x < 2(a – b)\)

b. \(x > 8 \Leftrightarrow (a – b)x < 8(a – b)\)

Giải

a. Nhận xét rằng:

Hai bất phương trình x < 2 và (a – b)x < 2(a – b) là hai bất phương trình cùng chiều.

Bất phương trình thứ hai có được sau khi nhân hai vế của bất phương trình thứ nhất với số (a – b).

Suy ra: \(a{\rm{ }}-{\rm{ }}b{\rm{ }} > {\rm{ }}0 \Leftrightarrow a > b.\)

b. Nhận xét rằng:

Hai bất phương trình: x > 8 và (a – b)x < 8(a – b) là hai bất phương trình ngược chiều.

Bất phương trình thứ hai có được sau khi nhân hai vế của bất phương trình thứ nhất với số (a – b).

Suy ra: \(a{\rm{ }}-{\rm{ }}b{\rm{ }} < {\rm{ }}0 \Leftrightarrow a < b.\)


Bài 2: Giải các bất phương trình sau

a. – 4x + 12 > 0

b. \(3 – 4x \ge 19\)

c. \(({m^2} + 1)x – {m^4} < – 1,\) với m là tham số.

Giải

a. Biến đổi tương đương bất phương trình về dạng: \( – 4x >  – 12 \Leftrightarrow x < 3\)

Vậy bất phương trình có nghiệm x < 3

b. Biến đổi tương đương bất phương trình về dạng:

\( – 4x \ge 19 – 3 \Leftrightarrow  – 4x \ge 16 \Leftrightarrow x \le  – 4\)

Vậy bất phương trình có nghiệm \(x \le  – 4\)

c. Biến đổi tương đương bất phương tình về dạng: \(({m^2} + 1)x < {m^4} – 1.\,\,(*)\)

Vì \({m^2} + 1\) luôn dương với mọi m nên khi chia cả hai vế của bất phương trình (*) cho \({m^2} + 1\) thì dấu bất phương trình không thay đổi, cụ thể ta được:

\(x < \frac{{{m^4} – 1}}{{{m^2} + 1}} = \frac{{({m^2} – 1)({m^2} + 1)}}{{{m^2} + 1}} = {m^2} – 1 \Leftrightarrow x < {m^2} – 1\)

Vậy bất phương trình có nghiệm \(x < {m^2} – 1\)


Bài 3: Tìm x để A < 0, biết: \(A = 1 – \frac{{2x + 3}}{2}\)

Giải

Trước tiên ta đi rút gọn biểu thức A:

\(A = 1 – \frac{{2x + 3}}{2} = \frac{{2 – 2x – 3}}{2} = \frac{{ – 2x – 1}}{2}\)

Để  A < 0, ta phải có: \(\frac{{ – 2x – 1}}{2} < 0 \Leftrightarrow  – 2x – 1 < 0 \Leftrightarrow  – 2x < 1 \Leftrightarrow x >  – \frac{1}{2}\)

Vậy với \(x >  – \frac{1}{2}\) thoả mãn điều kiện đầu bài.