Bài 2: Tính chất cơ bản của phân thức

Tóm tắt lý thuyết

1.1 Kiến thức cần nhớ

Tính chất của phân thức:

  • Nếu nhân cả tử và mẫu của một phân thức với cùng một đa thức khác đa thức 0 thì được một phân thức phân thức đã cho:

\(\frac{A}{B} = \frac{{A.M}}{{B.M}}\) (M là một đa thức khác đa thức 0).

  • Nếu chia cả tử và mẫu của một phân thức cho một nhân tử chung của chúng thì được một phân thức bằng phân thức đã cho:

\(\frac{A}{B} = \frac{{A:N}}{{B:N}}\) (N là một nhân tử chung).

Quy tắc đổi dấu:

  • Nếu đổi dấu cả tử và mẫu của một phân thức thì được một phân thức bằng phân thức đã cho:

\(\frac{A}{B} = \frac{{ – A}}{{ – B}}\)

Bài tập minh họa


Bài 1: Chứng minh các phân số sau bằng  nhau:

a.\(\frac{{5 – 2x}}{{ – 7x}} = \frac{{2x – 5}}{{7x}}\)

b.\(\frac{{{{(3x – 1)}^3}}}{{ – 5\left( {1 – 3x} \right)}} = \frac{{{{\left( {1 – 3x} \right)}^2}}}{5}\)

Hướng dẫn:

a.

\(\begin{array}{l} \frac{{5 – 2x}}{{ – 7x}} = \frac{{2x – 5}}{{7x}}\\ \frac{{ – 1.\left( {5 – 2x} \right)}}{{ – 1.\left( { – 7x} \right)}} = \frac{{2x – 5}}{{7x}}\\ \frac{{2x – 5}}{{7x}} = \frac{{2x – 5}}{{7x}} \end{array}\)

b.

\(\begin{array}{l} \frac{{{{(3x – 1)}^3}}}{{ – 5\left( {1 – 3x} \right)}} = \frac{{{{\left( {1 – 3x} \right)}^2}}}{5}\\ \frac{{\left( {3x – 1} \right).{{(3x – 1)}^2}}}{{ – 5\left( {1 – 3x} \right)}} = \frac{{{{\left( {1 – 3x} \right)}^2}}}{5}\\ \frac{{ – \left( {1 – 3x} \right).{{(3x – 1)}^2}}}{{ – 5\left( {1 – 3x} \right)}} = \frac{{{{\left( {1 – 3x} \right)}^2}}}{5}\\ \frac{{{{(3x – 1)}^2}}}{5} = \frac{{{{\left( {1 – 3x} \right)}^2}}}{5}\\ \frac{{{{\left( {1 – 3x} \right)}^2}}}{5} = \frac{{{{\left( {1 – 3x} \right)}^2}}}{5} \end{array}\)

Bài 2: Điền đa thức thích hợp vào chỗ trống:

\(\frac{{{x^5} + 2{x^3}}}{{\left( {{x^2} + 2} \right)\left( {x – 3} \right)}} = \frac{{…}}{{x – 3}}\)

Hướng dẫn:

\(\begin{array}{l} \frac{{{x^5} + 2{x^3}}}{{\left( {{x^2} + 2} \right)\left( {x – 3} \right)}} = \frac{{…}}{{x – 3}}\\ \frac{{{x^3}\left( {{x^2} + 2} \right)}}{{\left( {{x^2} + 2} \right)\left( {x – 3} \right)}} = \frac{{…}}{{x – 3}}\\ \frac{{{x^3}}}{{x – 3}} = \frac{{{x^3}}}{{x – 3}} \end{array}\)

Vậy: đa thức được điền vào là đơn thức \({x^3}\)

Bài 3: Dùng tính chất cơ bản của hai phân thức chứng tỏ rằng:

\(\frac{{{y^2} – {x^2}}}{{{x^3} – 3{x^2}y + 3x{y^2} – {y^3}}} = \frac{{ – \left( {x + y} \right)}}{{{x^2} – 2xy + {y^2}}}\)

Hướng dẫn:

\(\begin{array}{l} \frac{{{y^2} – {x^2}}}{{{x^3} – 3{x^2}y + 3x{y^2} – {y^3}}} = \frac{{ – \left( {x + y} \right)}}{{{x^2} – 2xy + {y^2}}}\\ \frac{{ – \left( {{x^2} – {y^2}} \right)}}{{{{\left( {x – y} \right)}^3}}} = \frac{{ – \left( {x + y} \right)}}{{{x^2} – 2xy + {y^2}}}\\ \frac{{ – \left( {x – y} \right)\left( {x + y} \right)}}{{{{\left( {x – y} \right)}^3}}} = \frac{{ – \left( {x + y} \right)}}{{{x^2} – 2xy + {y^2}}}\\ \frac{{ – \left( {x + y} \right)}}{{{{\left( {x – y} \right)}^2}}} = \frac{{ – \left( {x + y} \right)}}{{{x^2} – 2xy + {y^2}}}\\ \frac{{ – \left( {x + y} \right)}}{{{x^2} – 2xy + {y^2}}} = \frac{{ – \left( {x + y} \right)}}{{{x^2} – 2xy + {y^2}}} \end{array}\)