Bài 10: Đường thẳng song song với một đường thẳng cho trước

Tóm tắt lý thuyết

1.1 Kiến thức cần nhớ

1. Khoảng cách giữa hai đường thẳng song song:

– Khoảng cách giữa hai đường thẳng song song là khoảng cách từ một điểm tùy ý trên đường thằng này đến đường thẳng kia.

2. Tính chất của các điểm các đều một đường thẳng cho trước:

– Tính chất: Các điểm cách đều một đường thẳng b một khoảng là h nằm trên hai đường thẳng song song với b và cách b một khoảng là h.

– Nhận xét: Tập hớp các điểm cách đều một đường thẳng cố định một khoảng không đổi h là hai đường thẳng song song với đường thẳng đó và cách đường thẳng đó một khoảng bằng h.

3. Đường thẳng song song cách đều:

Cho các đường thẳng a,b,c,d song song với nhau và khoẳng cách giữa các đường thẳng a và b, b và c, c và d bằng nhau. Khi đó ta gọi a,b,c,d là các đường thẳng song song cách đều.

Bên cạnh đó từ việc sử dụng các kiến thức đã học về hình chữ nhật, tam giác bằng nhau và các góc tạo bởi hai đường song song và cát tuyến. Ta có thể dễ dàng chứng minh được các hệ quả sau:

– Nếu các đường thẳng song song cách đều cắt một đường thẳng thì chúng chắn trên đường thẳng đó các đoạn thẳng iên tiếp bằng nhau.

– Nếu các đường thẳng song song cắt một đường thẳng và chúng chắn trên đường thẳng đó các đoạn thẳng liên tiếp bằng nhau thì chúng song song cách đều.

 

 

 

Bài tập minh họa


Bài 1: cho tam giác ABC có trọng tâm G, E là trung điểm của AG, các đường thẳng song song với BC và qua E và G lần lượt cắt AB tại các điểm F và H. Chứng minh rằng AF=FH=HB. 

Hướng dẫn:

Gọi D là trung điểm của BC, ta có AG=2DG (do G là trọng tâm tam giá ABC)

Ta có AG=2AE =2EG (do E là trung điểm AG)

⇒AE=EG=DG

Xét tam giác AHG có:

E là trung điểm AG

EF song song HG

⇒F là trung điểm của AH

⇒AF=FH(1)

Mặt khác ta lại có các đường thẳng EF, HG, BC song song với nhau.

mà EG=GD nên EF, HG, BC là các đường thẳng song song cách đều.

nên FH=HB(2)

Từ (1) và (2) ta có: AF=FH=HB.

Bài 2: Cho đoạn thẳng AB, điểm M di chuyển trên đoạn thẳng ấy. Vẽ về một phía của AB các tam giac đều AMD, BME. Trung điểm I của DE di chuyển trên đường nào.

Hướng dẫn:

Gọi F,K,H lần lượt là hình chiếu của D,I,E lên AB.

Dễ thấy DEHF là hình thang với hai đáy là EH và DF

Ta lại có I trung điểm của DE và \(IK\parallel EH\parallel DF\) nên IK là đường trung bình của hình thang DEHF.

\( \Rightarrow IK = \frac{{EH + DF}}{2}\)

Xét tam giác ADF vuông tại F có :

\(\begin{array}{l} A{F^2} + D{F^2} = A{D^2}\\ \Rightarrow D{F^2} = A{D^2} – A{F^2}\\ \end{array}\)

Mặt khác AD=AM (tam giác ADM đều); \(AF = \frac{1}{2}AM\) (F trung điểm AM vìa tam giác ADM đều và AF là  đường cao)

Ta được:

\(\begin{array}{l} D{F^2} = A{D^2} – A{F^2} = A{M^2} – {\left( {\frac{1}{2}AM} \right)^2} = A{M^2} – \frac{1}{4}A{M^2} = \frac{3}{4}A{M^2}\\ \Rightarrow DF = \frac{{\sqrt 3 }}{2}AM \end{array}\)

Tương tự cho tam giác vuông EHB ta cũng chứng minh được \(EH = \frac{{\sqrt 3 }}{2}MB\)

Ta có:

\(IK = \frac{{EH + DF}}{2} = \frac{{\frac{{\sqrt 3 }}{2}MB + \frac{{\sqrt 3 }}{2}AM}}{2} = \frac{{\sqrt 3 }}{4}\left( {MB + AM} \right) = \frac{{\sqrt 3 }}{4}AB\) (vì AB cố định nên IK khôn đổi)

vậy khi M di chuyển thì I nằm trên đường thẳng song song với AB và cách AB một khoảng là \(\frac{{\sqrt 3 }}{4}AB\) và cùng phía với DE

Bài 3: Cho tam giác ABC vuông tại A, M là một điểm thuộc cạnh BC, gọi E,D lần lượt là chân các đường vuông góc kẻ từ M đến AB,AC. TÌm vị trí của M trên BC sao cho độ dài DE là nhỏ nhất

Hướng dẫn:

Dễ thấy rằng tứ giác ADME có 3 góc vuông nên là hình chữ nhật ⇒ AM=DE

nên vị trí điểm M sao cho DE nhỏ nhất tức là vị trí điểm M sao cho AM nhỏ nhất

mà AM nhỏ nhất chỉ khi M là hình chiếu của A lên BC

Vây DE nhỏ nhất khi M là hình chiếu của A lên BC hay AM vuông góc với BC