Bài 1: Mở đầu về phương trình

Tóm tắt lý thuyết

1.1. Phương trình một ẩn

Một phương trình với ẩn x có dạng A(x) = B(x), trong đó vế trái A(x) và vế phải B(x) là hai biểu thức của cùng một biến x.

Ví dụ 1:

2x + 1 = x là phương trình với ẩn x

2t – 5 = 3(4 – t) – 7 là phương trình với ẩn t.

Chú ý:

a. Hệ thức x = m (với m là một số nào đó) cũng là một phương trình. Phương trình bày chỉ rõ rằng m là nghiệm duy nhất của nó.

b. Một phương trình có thể có một nghiệm, hai nghiệm, ba nghiệm,…,nhưng cũng có thể không có nghiệm nào hoặc có vô số nghiệm. phương trình không có nghiệm nào được gọi là phương trình vô nghiệm.

1.2. Giải phương trình

Tập hợp tất cả các nghiệm của một phương trình được gọi là tập nghiệm của phương trình đó và thường được kí hiệu bởi S.

1.3. Phương trình tương đương

Phương trình x = -1 có tập nghiệm là {-1}. Phương trình x + 1 = 0 cũng có tập nghiệm là {-1}. Ta nói rằng hai phương trình ấy tương đương với nhau.

Tổng quát, ta gọi hai phương trình có cùng một tập nghiệm là hai phương trình tương đương.

Ví dụ 2:  Tìm tập hợp nghiệm của các phương trình sau:

a. x + 3 = 5

b. |x| = 1

Giải

a. Ta có: x + 3 = 5 \( \Leftrightarrow \) x = 5 – 3 = 2

Vậy, ta được S = {2}

b. Ta có: |x| = 1 \( \Leftrightarrow \) x = 1 hoặc x = -1

Vậy, ta được S = {1; -1}


Ví dụ 3: Giải phương trình: \({x^2} – 4 = 5\)

Giải

Ta có thể lựa chọn một trong hai cách trình bày sau:

Cách 1: Biến đổi phương trình như sau:

\({x^2} – 4 = 5 \Leftrightarrow {x^2} = 5 + 4 = 9\)

\( \Leftrightarrow \) x = 3 hoặc x = -3

Vậy phương trình có hai nghiệm x = 3 hoặc x = -3

Cách 2: Biến đổi phương trình như sau:

\({x^2} – 4 = 5 \Leftrightarrow {x^2} – 9 = 0\)

\( \Leftrightarrow (x – 3)(x + 3) = 0\)

\( \Leftrightarrow \) x = 3 hoặc x = -3

Vậy phương trình có hai nghiệm x = 3 hoặc x = -3

Bài tập minh họa


Bài 1: Tìm tập hợp nghiệm của các phương trình sau:

a. \((x – 2)(x + 2) = {x^2} – 4\)

b. \(\frac{1}{{x – 1}} = 0\)

c. \(|x| =  – \frac{1}{2}\)

d. \(2x + 2 = 2x + 3\)

Giải

a. Biến đổi tương đương phương trình về dạng:

\((x – 2)(x + 2) = {x^2} – 4 \Leftrightarrow {x^2} – 4 = {x^2} – 4\) luôn đúng với mọi x.

Vậy phương trình có tập hợp nghiệm S = R

b. Nhận xét rằng: \(VT \ne 0\), với mọi \(x \ne 1\) do đó phương trình vô nghiệm.

Vậy phương trình có tập nghiệm \(S = \emptyset \)

c. Nhận xét rằng: \(VT = |x| \ge 0\) với mọi x.

\(VP =  – \frac{1}{2},\) luôn âm, do đó phương trình vô nghiệm.

Vậy phương trình có tập hợp nghiệm \(S = \emptyset \)

d. Nhận xét rằng: VT = 2x + 2 < 2x + 3 = VP, do đó phương trình vô nghiệm

Vậy phương trình có tập hợp nghiệm \(S = \emptyset \)


Bài 2: Chứng minh rằng phương trình x + |x| = 0 nghiệm đúng với mọi  \(x\, \le \,0.\)

Giải

Nhận xét rằng, với \(x\, \le \,0\) ta luôn có: |x| = – x do đó: x + |x| = x – x = 0

Vậy phương trình đã cho nghiệm đúng với mọi \(x\, \le \,0\)


Bài 3: Chứng tỏ rằng phương trình mx – 3 = 2m – x – 1 luôn nhận x = 2 là nghiệm, dù m lấy bất cứ giá trị nào.

Giải

Với x = 2, ta được:

VT = m.2 – 3 = 2m – 3

VP = 2m – 2 – 1 = 2m – 3

Suy ra: VT = VP

Vậy phương trình luôn nhận x = 2 làm nghiệm, dù m lấy bất cứ giá trị nào.