Bài 2: Hai tam giác bằng nhau

Tóm tắt lý thuyết

1.1. Định nghĩa

Hai tam giác bằng nhau là hai tam giác mà ba cạnh của tam giác này bằng ba cạnh của tam giác kia và ba góc đối diện với ba cạnh ấy của tam giác này bằng ba góc đối diện với ba cạnh ấy của tam giác ấy.

1.2. Kí hiệu

Để kí hiệu bằng nhau của tam giác ABC và tam giác A’B’C’ ta viết:

\(\Delta ABC = \Delta A’B’C’\)

1.3. Qui ước

Khi kí hiệu song bằng nhau của hai tam giác, các chữ cái chỉ tên các đỉnh tương ứng được viết theo cùng thứ tự.

\(\Delta ABC = \Delta A’B’C’ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}AB = A’B’,\,AC = A’C’,\,BC = B’C’\\\widehat A = \widehat {A’},\,\,\widehat B = \widehat {B’},\,\widehat C = \widehat {C’}\end{array} \right.\)


Ví dụ 1: Cho \(\Delta ABC = \Delta DMN\)

a. Viết đẳng thức trên dưới một vài dạng khác

b. Cho AB = 3cm, AC = 4cm, MN=5cm. Tính chu vi của mỗi tam giác nói trên. Có nhận xét gì?

Giải

a. Viết đẳng thức \(\Delta ABC = \Delta DMN\) dưới vài dạng khác:

\(\begin{array}{l}\Delta ACB = \Delta DNM,\Delta BAC = \Delta DMN,\Delta BCA = \Delta MND\\\Delta CAB = \Delta NDM,\Delta CBA = \Delta NMD\end{array}\)

b.

\(\Delta ABC = \Delta DMN \Rightarrow AB = DM,AC = DN,MN = BC.\)

Do AB=3cm, AC = 4cm, MN = 5cm Nên:

Chu vi \(\Delta ABC\) bằng AB+BC+CA=3+4+5=12 (cm)

Chu vi \(\Delta PMN\) bằng PM+MN+ND=3+4+5=12 (cm)

Nhận xét: Hai tam giác bằng nhau có chu vi bằng nhau.


Ví dụ 2: Cho \(\Delta ABC = \Delta MNO\). Biết \(\widehat A = {55^0},\widehat N = {75^0}\) tính các góc còn lại của mỗi tam giác:

Giải

\(\Delta ABC = \Delta MNO\) có \(\widehat A = {55^0},\widehat N = {75^0}\)

Do đó \(\widehat M = \widehat A = {55^0},\widehat B = \widehat N = {75^0}\)

\(\widehat C = {180^0}(\widehat A + \widehat B) = {180^0} – ({55^0} + {75^0}) = {50^0}\)

Nên \(\widehat O = \widehat C = {50^0}\)


Ví dụ 3: Cho hai tam giác bằng nhau ABC và DEG

a. Biết \(\widehat A = {20^0},\widehat C = {60^0}\) và \(\widehat E = {100^0}\)

Tìm số đo các góc còn lại của mỗi tam giác.

b. Biết DG = 5cm có thể tìm được độ dài của cạnh nào của tam giác ABC?

Giải

a. Vì \(\Delta ABC = \Delta DEG\) nên:

\(\widehat A = \widehat D = {20^0},\widehat B = {100^0};\,\widehat C = \widehat G = {60^0}\)

b. Dễ thấy AC=DG=5cm

Vậy có thể tìm được độ dài của cạnh AC=5cm.

Bài tập minh họa


Bài 1: Tam giác ABC bằng tam giác PQR, biết \(\widehat A = {50^0},\widehat R = {70^0},\widehat B = {60^0},\) cạnh PQ = 6cm, AC = 5cm.

Xác định độ lớn của các góc còn lại và độ dài các cạnh AB và PR của hai tam giác đó.

Giải

Theo đề bài \(\Delta ABC = \Delta PQR,\) nên các cạnh tương ứng của hai tam giác bằng nhau, nghĩa là:

AB = PQ; BC = QR; AC = PR và \(\widehat A = \widehat P;\,\widehat B = \widehat Q\) và \(\widehat C = R\)

Mà \(\widehat A = {50^0},\widehat R = {70^0},\widehat B = {60^0}\) nên \(\widehat P = {50^0},\widehat Q = {60^0},C = {70^0}\) và PQ = 6cm; AC = 5cm nên AB = 6M, PR = 5cm.


Bài 2: Cho tam giác ABC có chu vi bằng 21 cm. Độ dài cạnh là ba số lẻ liên tiếp và AB < BC < CA.

Tìm độ dài các cạnh của tam giác PQR biết tam giác ABC bằng tam giác PQR.

Giải

Gọi độ dài cạnh AB là 2n-1 thì độ dài cạnh BC là 2n + 1 và độ dài cạnh CA là 2n+3.

Theo đề bài, ta có:

\(AB + BC + CA = 21 \Rightarrow (2n – 1) + (2n + 1) + (2n + 3)\)

\(21 \Rightarrow 6n = 18 \Rightarrow n = 3\)

Vậy AB = 5cm; BC = 7cm; CA = 9cm

\(\Delta ABC = \Delta AQR\) nên ta có:

\(\begin{array}{l}PQ = AB = 5cm;QR = BC = 7cm\\RP = CA = 9cm\end{array}\)


Bài 3: Cho tam giác ABC có M thuộc cạnh BC sao cho \(\Delta AMB = \Delta AMC.\) Chứng minh rằng:

a. M là trung điểm của BC

b. AM là tia phân giác của gốc \(\widehat A\)

c. \(AM \bot BC\)

Giải

a. Ta có \(\Delta AMB = \Delta AMC \Rightarrow MB = MC\)

Ta lại có: \({M_2}\) nằm giữa B và C nên M là trung điểm của BC

b. Từ \(\Delta AMB = \Delta AMC\) suy ra: \(\widehat {MAB} = \widehat {MAC}\) mà \(\widehat {MAB} + \widehat {MAC} = \widehat A\)

\( \Rightarrow \widehat {MAB} = \widehat {MAC} = \frac{1}{2}.\widehat {BAC}\)

Ta lại có tia AM nằm giữa hai tia AB và AC nên: tia AM là tia phân giác của \(\Delta ABC\)

c. Từ hai tam giác AMB và AMC bằng nhau nên ta có:

\(\widehat {AMB} = \widehat {AMC}\) mà M thuộc cạnh BC nên:

\(\widehat {AMB} + \widehat {AMC} = {90^0}\)

Hay \(AM \bot BC.\)