Bài 5: Đa thức

Tóm tắt lý thuyết

1.1. Đa thức

Đa thức là một tổng của những đơn thức. Mỗi đơn thức trong tổng gọi là một hạng tử của đa thức đó.

Ví dụ:

Đa thức \(2x^2-xy+5x^2y-\frac{1}{2}y^2\) có thể viết lại như sau: \((2x^2)+(-xy)+(5x^2y)+(\frac{-1}{2}y^2)\)

Với các hạng tử \(2x^2;(-xy);5x^2y;(\frac{-1}{2}y^2)\)

Thông thường, để cho gọn, người ta thường kí hiệu đa thức bằng các chữ cái in hoa \(A,B,C,M,N,P,Q,…\)

Chú ý: Mỗi đơn thức được coi là một đa thức.

1.2. Thu gọn đa thức

Để thu gọn đa thức, ta thực hiện phép cộng các đơn thức đồng dạng với nhau (trong đa thức đó).

Ví dụ:

Đa thức \(Q=xy-x^2-2xy+\frac{1}{2}x^2\) có thu gọn là \(Q=-xy-\frac{1}{2}x^2\).

1.3. Bậc của đa thức

Bậc của đa thức là bậc của hạng tử có bậc cao nhất trong dạng thu gọn của đa thức đó.

Ví dụ: 

Đa thức \(P=-xy-\frac{-2}{5}x^3+x^3y\) có bậc là \(4\) (bậc của \(x^3y\) cao nhất trong tất cả các hạng tử).

Bài tập minh họa


Bài 1:

Tìm bậc của đa thức sau:

a. \(5{x^3} – 2x + 3{x^2} + 5x – 2{x^2} – 3{x^3}\)

b. \(2{x^2} – \frac{1}{2}{x^3} – 3{x^2} + 3{x^3} – \frac{2}{3}{x^2}\)

Hướng dẫn giải:

a. \(5{x^3} – 2x + 3{x^2} + 5x – 2{x^2} – 3{x^3}\)

\(\begin{array}{l} = 5{x^3} – 3{x^3} + 3{x^2} – 2{x^2} – 2x + 5x\\ = 2{x^3} + {x^2} + 3x\end{array}\)

Đa thức có bậc là 3.

b. \(2{x^2} – \frac{1}{2}{x^3} – 3{x^2} + 3{x^3} – \frac{2}{3}{x^2}\)

\(\begin{array}{l} = \frac{1}{2}{x^3} + 3{x^3} + 2x – 3{x^2} – \frac{2}{3}{x^2}\\ = \frac{5}{2}{x^3} – \frac{5}{3}{x^2}\end{array}\)

Đa thức có bậc là 3.

 

Bài 2:

Thu gọn các đa thức sau và tìm bậc của đa thức:

a. \(3x{y^2}z + 2{x^2}yz – 4x{y^2}z – 5{x^2}yz – 2xyz\)

b. \(2{x^6} – x{y^6} + 3{x^2}{y^5} + 3x{y^6} + 2{x^2}{y^5}\)

Hướng dẫn giải:

a. \(3x{y^2}z + 2{x^2}yz – 4x{y^2}z – 5{x^2}yz – 2xyz\)

\(\begin{array}{l} = 3x{y^2}z – 4x{y^2}z + 2{x^2}yz – 5{x^2}yz – 2xyz\\ =  – x{y^2}z – 3{x^2}yz – 2xyz\end{array}\)

b. \(2{x^6} – x{y^6} + 3{x^2}{y^5} + 3x{y^6} + 2{x^2}{y^5}\)

\(\begin{array}{l} = 2{x^6} – x{y^6} + 3x{y^6} + 3{x^2}{y^5} + 2{x^2}{y^5}\\ = 2{x^6} + 2x{y^6} + 5{x^2}{y^5}\end{array}\)


Bài 3:

Tính giá trị các đa thức:

a. \(5{x^2}y – 5x{y^2} + xy\) tại x=-2, y=-1.

b. \(\frac{1}{2}x{y^2} + \frac{2}{3}{x^2}y – xy + x{y^2} – \frac{1}{3}{x^2}y + 2xy\) tại x= 0,5; y=1.

Hướng dẫn giải:

a. \(5{x^2}y – 5x{y^2} + xy = xy(5x – 5y + 1)\)

Tại x=-2, y=-1 ta được:

(-2),(-1)[5.(-2)-5(-1)+1]=2(-10+5+1)=2.(-4)=-8.

b. \(\frac{1}{2}x{y^2} + \frac{2}{3}{x^2}y – xy + x{y^2} – \frac{1}{3}{x^2}y + 2xy\)

\(\begin{array}{l} = \frac{1}{2}x{y^2} + x{y^2} + \frac{2}{3}{x^2}y – \frac{1}{3}{x^2}y – xy + 2xy\\ = \frac{2}{3}{x^2}y + \frac{1}{3}{x^2}y + xy = xy\left( {\frac{3}{2}y + \frac{1}{3}x + 1} \right)\end{array}\).

Tại tại x= 0,5; y=1, ta được:

\(\begin{array}{l}0,5.1\left( {\frac{3}{2}.1 + \frac{1}{3}.0,5 + 1} \right)\\ = 0,5.\left( {\frac{3}{2} + \frac{1}{6} + 1} \right) = \frac{1}{2}\left( {\frac{9}{6} + \frac{1}{6} + 1} \right)\\ = \frac{1}{2}\left( {\frac{5}{3} + 1} \right) = \frac{4}{3} = 1\frac{1}{3}\end{array}\).