Bài 4: Trường hợp bằng nhau thứ hai của tam giác: cạnh – góc – cạnh (cgc)

Tóm tắt lý thuyết

1.1. Chú ý khi vẽ tam giác biết hai cạnh và góc xen giữa

Để vẽ được tam giác ABC, số đo của góc đã cho phải nhỏ hơn \({180^0}\)

1.2. Trường hợp bằng nhau cạnh – góc – cạnh

Nếu hai cạnh và góc xen giữa của tam giác này bằng hai cạnh và góc xen giữa của tam giác kia thì tam giác đó bằng nhau.

Nếu \(\Delta ABC\) và \(\Delta A’B’C’\) có

\(AB = A’B’\)

\(\widehat B = \widehat {B’}\)

\(BC = B’C’\)

Thì \(\Delta ABC = \Delta A’B’C’\,\,(c.g.c)\)

1.3. Hệ quả

Nếu hai cạnh góc vuông của tam giác này lần lượt bằng hai cạnh góc vuông của tam giác vuông kia thì hai tam giác vuông đó bằng nhau.


Ví dụ 1: Cho đoạn thẳng AB. Vẽ các cung tâm A và tâm B có cùng bán kính sao cho chúng cắt nhau tại C và D. Chứng minh:

a. CD là tia phân giác của góc ACB.

b. CD là đường trung trực của AB.

Giải

a. \(\Delta ACD\) và \(\Delta BCD\) có

AC = BC (=bán kính)

AC = BD (=bán kính)

CD cạnh chung

Do đó \(\Delta ACD = \Delta BCD\)(c.c.c)

Suy ra \(\widehat {ACD} = \widehat {BCD}\)

Vậy CD là tia phân giác của góc C.

b. Gọi H là giao điểm của CD và AB

\(\Delta ACH\) và \(\Delta BCH\) có:

AC = BC (gt)

\(\widehat {ACH} = \widehat {BCH}\,\,(\Delta ACD = \Delta BCD)\)

CH cạnh chung

Nên \(\Delta ACH = \Delta BCH\,(c.g.c)\)

Suy ra \(HA = HB,\,\widehat {{H_1}} = \widehat {{H_2}}\)

Ta lại có \(\widehat {{H_1}} + \widehat {{H_2}} = {180^0}\) nên \(\widehat {{H_1}} + \widehat {{H_2}} = {90^0},\) do đó \(CH \bot AB\) và HA = HB nên CH là đường trung trực của AB.

Vậy CD là đường trung trực của AB.


Ví dụ 2: Cho đoạn thẳng AB. Gọi A là một điểm trên đường trung trực xy của đường thẳng AB và M là giao điểm của xy với AB. Chứng minh AB = AC.

 Giải

Xét hai tam giác AMB và AMC

Ta có:

\(\begin{array}{l}MB = MC\,\,(gt)\\\widehat {AMB} = \widehat {AMC} = {90^0}\,\,(AM \bot BC)\end{array}\)

AH cạnh chung

Nên \(\Delta AMB = \Delta AMC\,\,(c.g.c)\)

Nên \(\Delta AMB = \Delta AMC\)(c.g.c)

Suy ra AB = AC.


Ví dụ 3: Cho góc xOy với điểm I trên tia phân giác Oz, lấy A trên Ox, B trên Oy sao cho OA = OB.

a. Chứng minh rằng \(\Delta AOI = \Delta BOI.\)

b. Đoạn thẳng AB cắt Oz tại H chứng minh rằng \(\Delta AIH = \Delta BIH\)

c. Chứng minh rằng các tam giác AIH và BIH đều là tam giác vuông.

Giải

a. Hai tam giác AOI và BOI có: IO chung, OA = OB (gt)

\(\widehat {AOI} = \widehat {BOI}\) (Oz là tia phân giác)

Vậy \(\Delta AOI = \Delta BOI\,\,(c.g.c)\)

b. Do \(\Delta AOI = \Delta BOI,\) suy ra

IA = IB (1)

\(\widehat {AOI} = \widehat {BOI}\)

Nhưng \(\widehat {AIH}\) kề bù với AIO, \(\widehat {BIH}\) kề bù với \(\widehat {BOI}\)

Suy ra \(\widehat {AIH} = \widehat {BIH}\,\,(2)\)

IH cạnh chung (3)

Từ (1), (2), (3) suy ra \(\widehat {AIH} = \widehat {BIH\,}\,(c.g.c)\)

c. Do \(\Delta AIH = \Delta BIH \Rightarrow \widehat {AHI} = \widehat {BHI}\)

Vì \(\widehat {AHI} = \widehat {BHI}\) và lại là góc kề bù

Suy ra \(\widehat {AHI} = \widehat {BHI} = \frac{{{{180}^0}}}{2} = {90^0}\)

Vậy \(\Delta AIH\) là tam giác vuông tại H

\(\Delta BIH\) là tam giác vuông tại H.

Bài tập minh họa


Bài 1: Cho đường thẳng AB, trên hai nữa mặt phẳng đối phẳng đối nhau bờ là là đường thẳng chứa đoạn AB vẽ hai tia \(Ax \bot AB,By \bot BA.\) Trên Ax và By lần lượt lấy hai điểm C và D sao cho AC = BD. Gọi O là trung điểm AB.

a. Chứng minh \(\Delta AOC = \Delta BOD\)

b. Chứng min O là trung điểm CD.

Giải

a. Xét \(\Delta AOC\) và \(\Delta BOD\)

Có: OA = OB
(O là trung điểm AB)

\(\begin{array}{l}\widehat {OAC} = \widehat {OBD} = {90^0}\,\,(gt)\\AC = BD\,\,(gt)\end{array}\)

Vậy \(\Delta AOC = \Delta BOD\) (c.g.c)

b. Vì \(\Delta AOC = \Delta BOD\)

Nên \(\widehat {AOC} = \widehat {BOD},\,OC = OD\)

Mà hai tia OC, OD là hai tia nằm khác phía đối với AB nên suy C, O, D thẳng hàng (hai tia đối của hai góc đối đỉnh hay O nằm giữa CD.

O nằm giữa CD và OC = OD nên O là trung điểm của CD.


Bài 2:  Cho bốn tia Ox, Oy, Oz, Ot theo thứ tự sao cho \(\widehat {xOy} = \widehat {yOt}.\) Trên Ox, Oz lấy hai điểm A và C sao cho OA=OC, trên  Oy và Ot lấy hai điểm B và D sao cho OB=OD. Chứng minh \(\widehat {OAB} = \widehat {OCD}.\)

Giải

Ta có tia Oy nằm giữa Ox và Oz

\(\widehat {xOy} + \widehat {yOz} = \widehat {xOz}\)

Oz nằm giữa Oy, Ot.

\(\widehat {zOt} + \widehat {yOz} = \widehat {yOt}\)

Mà \(\widehat {xOy} = \widehat {yOt}\) (gt)

Suy ra \(\widehat {xOy} = \widehat {zOt}\)

Xét \(\Delta AOB = \Delta COD\) có:

OB = OD (gt)

\(\begin{array}{l}\widehat {AOB} = \widehat {COD}\,\,(cmt)\\OA = OC\,\,(gt)\end{array}\)

Suy ra \(\Delta AOB = \Delta COD\) (c.g.c)

Vậy \(\widehat {OAB} = \widehat {OCD}\)


Bài 3: Cho góc xOy, trên Ox lấy các điểm A, B và trên Oy lấy các điểm C, D sao cho OA=OC; AB = CD. Chứng minh rằng:

a. \(\Delta ABC = \Delta CDA\)                                  b. \(\Delta ABD = \Delta CDB\)

Giải

a. Xét hai tam giác OAD và OCB

Ta có:

\(\begin{array}{l}OA = OC\,\,(gt)\\\widehat {OAD} = \widehat {COB}\,\,\,( = \widehat O)\\OD = OC + CD = OA + AB = OB\,\,(gt)\end{array}\)

Nên \(\Delta OAD = \Delta OCB\)(c.g.c)

Suy ra:

\(\begin{array}{l}DA = BC\,{\,^{(1)}}\\\widehat {ADO} = \widehat {CBO}\,{\,^{(2)}}\end{array}\)

Lại có \(DC = B{A^{\,\,(3)}}\,\,(gt)\)

Từ (1), (2) (3) Suy ra \(\Delta CDA = \Delta ABC\,\,(c.g.c)\)

Vậy \(\Delta ABC = \Delta CDA\)

b.

Vì \(\Delta ABC = \Delta CDA\) nên CB = AD (1)

Ta có \(\Delta OAD = \Delta CDA\) (cmt) nên \(\widehat {OAD} = \widehat {OCB}\)

Mà \(\widehat {OAD} + \widehat {DAB} = \widehat {OCB} + \widehat {BCD} = {180^0}\)

Suy ra \(\widehat {DAB} = \widehat {BCD}\) hay \(\widehat {BCD} = \widehat {DAB}\) (5)

Mặt khác CD = AB (gt) (6)

Nên từ (4), (5), (6) ta suy ra

\(\Delta CDB = \Delta ABD\,\,(c.g.c)\)

Vậy \(\Delta ABD = \Delta CDB.\)