Bài 10: Phép nhân phân số

Tóm tắt lý thuyết

1.1. Quy tắc

Muốn nhân hai phân số, ta nhân các tử với nhau và nhân các mẫu với nhau.

\(\frac{a}{b}.\frac{c}{d} = \frac{{a\,\,.\,\,c}}{{b\,\,.\,\,d}}\)

Ví dụ 1: Tính \(\frac{{ – 3}}{7}.\frac{2}{{ – 5}}\) .

Giải

\(\frac{{ – 3}}{7}.\frac{2}{{ – 5}} = \frac{{( – 3).2}}{{7.( – 5)}} = \frac{{ – 6}}{{ – 35}} = \frac{6}{{35}}\)

1.2. Nhận xét

Từ các phép nhân: \(( – 2).\frac{1}{5} = \frac{{ – 2}}{1}.\frac{1}{5} = \frac{{( – 2).1}}{{1.5}} = \frac{{ – 2}}{5}\,\,\left( { = \frac{{( – 2).1}}{5}} \right)\)

\(\frac{{ – 3}}{{13}}.( – 4) = \frac{{ – 3}}{{13}}.\frac{{ – 4}}{1} = \frac{{( – 3).( – 4)}}{{13.1}} = \frac{{12}}{{13}}\,\,\left( { = \frac{{( – 3).( – 4)}}{{13}}} \right)\), ta có nhận xét:

Muốn nhân một số nguyên với một phân số (hoặc một phân số với một số nguyên), ta nhân số nguyên với tử của phân số và giữ nguyên mẫu.


Ví dụ 2: Tính

a. \(\frac{2}{3} + \frac{1}{5}.\frac{{10}}{7}\)                            b. \(\frac{7}{{12}} – \frac{{27}}{7}.\frac{1}{{18}}\)

c. \(\left( {\frac{{23}}{{41}} – \frac{{15}}{{82}}} \right).\frac{{41}}{{25}}\)                 d. \(\left( {\frac{4}{5} + \frac{1}{2}} \right).\left( {\frac{3}{{13}} – \frac{8}{{13}}} \right)\)

Giải

a. \(\frac{2}{3} + \frac{1}{5}.\frac{{10}}{7} = \frac{2}{3} + \frac{2}{7} = \frac{{14}}{{21}} + \frac{6}{{21}} = \frac{{20}}{{21}}\)

b. \(\frac{7}{{12}} – \frac{{27}}{7}.\frac{1}{{18}} = \frac{7}{{12}} – \frac{3}{{14}} = \frac{{49}}{{84}} – \frac{{18}}{{84}} = \frac{{31}}{{84}}\)

c. \(\left( {\frac{{23}}{{41}} – \frac{{15}}{{82}}} \right).\frac{{41}}{{25}} = \left( {\frac{{46}}{{82}} – \frac{{15}}{{82}}} \right).\frac{{41}}{{25}} = \frac{{31}}{{82}}.\frac{{41}}{{25}} = \frac{{31}}{{50}}\)

d. \(\left( {\frac{4}{5} + \frac{1}{2}} \right).\left( {\frac{3}{{13}} – \frac{8}{{13}}} \right) = \left( {\frac{8}{{10}} + \frac{5}{{10}}} \right).\left( {\frac{{ – 5}}{{13}}} \right) = \frac{{13}}{{10}}.\frac{{ – 5}}{{13}} = \frac{{ – 1}}{2}\)


Ví dụ 3:

a. Cho hai phân số \(\frac{1}{n}\) và \(\frac{1}{{n + 1}}\,\,(n \in \mathbb{Z},\,\,n > 0).\) Chứng tỏ rằng tích của hai phân số này bằng hiệu của chúng.

b. Áp dụng kết quả trên để tính giá trị các biểu thức sau:

\(A = \frac{1}{2}.\frac{1}{3} + \frac{1}{3}.\frac{1}{4} + \frac{1}{4}.\frac{1}{5} + \frac{1}{5}.\frac{1}{6} + \frac{1}{6}.\frac{1}{7} + \frac{1}{7}.\frac{1}{8} + \frac{1}{8}.\frac{1}{9}\)

\(B = \frac{1}{{30}} + \frac{1}{{42}} + \frac{1}{{56}} + \frac{1}{{72}} + \frac{1}{{90}} + \frac{1}{{110}} + \frac{1}{{132}}\)

Giải

a. \(\frac{1}{n}.\frac{1}{{n + 1}}\,\, = \frac{1}{{n(n + 1)}};\,\,\,\,\frac{1}{n} – \frac{1}{{n + 1}}\,\, = \frac{{n + 1 – n}}{{n(n + 1)}} = \frac{1}{{n(n + 1)}}\)

b. Áp dụng

\(A = \left( {\frac{1}{2} – \frac{1}{3}} \right) + \left( {\frac{1}{3} – \frac{1}{4}} \right) + \left( {\frac{1}{4} – \frac{1}{5}} \right) + \left( {\frac{1}{5} – \frac{1}{6}} \right) + \left( {\frac{1}{6} – \frac{1}{7}} \right) + \left( {\frac{1}{7} – \frac{1}{8}} \right) + \left( {\frac{1}{8} – \frac{1}{9}} \right)\)

\( = \frac{1}{2} – \frac{1}{9} = \frac{7}{{18}}\)

\(B = \frac{1}{{5.6}} + \frac{1}{{6.7}} + \frac{1}{{7.8}} + \frac{1}{{8.9}} + \frac{1}{{9.10}} + \frac{1}{{10.11}} + \frac{1}{{11.12}}\)

\( = \left( {\frac{1}{5} – \frac{1}{6}} \right) + \left( {\frac{1}{6} – \frac{1}{7}} \right) + \left( {\frac{1}{7} – \frac{1}{8}} \right) + \left( {\frac{1}{8} – \frac{1}{9}} \right) + \left( {\frac{1}{9} – \frac{1}{{10}}} \right) + \left( {\frac{1}{{10}} – \frac{1}{{11}}} \right) + \left( {\frac{1}{{11}} – \frac{1}{{12}}} \right)\)

\( = \frac{1}{5} – \frac{1}{{12}} = \frac{7}{{60}}\)

Bài tập minh họa


Bài 1: Cho phân số \(\frac{a}{b}\) và phân số \(\frac{a}{c}\) có \(b{\rm{ }} + {\rm{ }}c{\rm{ }} = {\rm{ }}a\,\,(a,\,b,\,c\, \in \mathbb{Z},\,b \ne 0,\,c\, \ne 0).\) Chứng tỏ rằng tích của hai phân số này bằng tổng của chúng. Thử lại với a = 8, b = -3.

Giải

Ta có \(\frac{a}{b}.\frac{a}{c} = \frac{{{a^2}}}{{bc}}\) (1)

\(\frac{a}{b} + \frac{a}{c} = \frac{{ac + ab}}{{bc}} = \frac{{a(c + b)}}{{bc}} = \frac{{a.a}}{{bc}} = \frac{{{a^2}}}{{bc}}\) (Vì c + b = a)  (2)

Từ (1) và (2): \(\frac{a}{b}.\frac{a}{c} = \frac{a}{b} + \frac{a}{c}\) với b + c = a. \(a,\,b,\,c\, \in \mathbb{Z},\,b \ne 0,\,c\, \ne 0\)

Nếu a = 8, b = -3 thì c = a – b = 8 – (-3) = 11. Ta có:

\(\frac{8}{{ – 3}}.\frac{8}{{11}} = \frac{{64}}{{ – 33}}\) và \(\frac{8}{{ – 3}} + \frac{8}{{11}} = \frac{{8.11 + 8.( – 3)}}{{ – 33}} = \frac{{64}}{{ – 33}}\)


Bài 2: Tìm phân số tối giản \(\frac{a}{b}\) sao cho phân số \(\frac{a}{{b – a}}\) bằng 8 lần phân số \(\frac{a}{b}\).

Giải

Từ \(\frac{a}{{b – a}} = \frac{a}{b}.8\) suy ra

\(\begin{array}{l}ab = 8a(b – a)\\ab = 8ab – 8{a^2}\\8{a^2} = 7ab\\8a = 7b\,\,\,hay\,\,\frac{a}{b} = \frac{7}{8}\end{array}\)


Bài 3: Tìm số nguyên dương nhỏ nhất để khi nhân nó với mỗi một trong các phân số tối giản \(\frac{3}{4},\frac{{ – 5}}{{11}},\frac{7}{{12}}\) đều được tích là những số nguyên.

Giải

Gọi a là số nguyên dương cần tìm

Để \(\frac{{3a}}{4},\frac{{ – 5a}}{{11}},\frac{{7a}}{{12}}\)là những số nguyên thì a phải chia hết cho 4, cho 11, cho 12, a là số nguyên dương nhỏ nhất nên a là BCNN(4,11,12)=132.