Bài 3: Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số

Tóm tắt lý thuyết

2.1. Định nghĩa

Cho hàm số \(y=f(x)\) xác định trên tập D.

  • M được gọi là GTLN của \(f(x)\) trên D nếu: \(\left\{\begin{matrix} f(x)\leq M\\ \exists x_0, f(x_0)=M \end{matrix}\right.\).
  • m được gọi là GTNN của \(f(x)\) trên D nếu:  \(\left\{\begin{matrix} m\leq f(x), \forall x\in D\\ \forall x_0\in D, f(x_0)=m \end{matrix}\right.\).

2.2. Các phương pháp tìm GTLN và GTNN của hàm số

a) Tìm GTLN và GTNN của hàm số trên miền D

Để tìm GTLN, GTNN của hàm số \(y=f(x)\) xác định trên tập hợp D, ta tiến hành khảo sát sự biến thiên của hàm số trên D, rồi căn cứ vào bảng biến thiên của hàm số đưa ra kết luận về GTLN và GTNN của hàm số.

b) Tìm GTLN và GTNN của hàm số trên một đoạn

  • Định lý: Mọi hàm số liên tục trên một đoạn đều có giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất trên đoạn đó.
  •  Quy tắc tìm GTLN và GTNN của hàm số \(f(x)\) liên tục trên một đoạn \([a;b].\)
    • Tìm các điểm \(x_i\in (a ; b)\) (i = 1, 2, . . . , n) mà tại đó \(f'(x_i)=0\) hoặc \(f'(x_i)\) không xác định.
    • Tính \(f(x),f(b),f(x_i)\) (i = 1, 2, . . . , n).
    • Khi đó :  

Bài tập minh họa


3.1. Dạng 1: Tìm GTLN và GTNN của hàm số trên miền D

Tìm GTLN-GTNN của các hàm số sau:

a) Hàm số \(y=x^3-3x^2-9x+5\).

b) Hàm số \(y=\frac{x^2+2x+3}{x-1},x\in(1;3].\)

Lời giải:

a) Hàm số \(y=x^3-3x^2-9x+5\).

  • TXĐ: \(D=\mathbb{R}.\)
  • \(y’=3x^2-6x-9.\)
  • \(y’ = 0 \Leftrightarrow 3{x^2} – 6x – 9 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x = – 1\\ x = 3 \end{array} \right.\)
  • Bảng biến thiên:

  • Vậy hàm số không có giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất.

b)  Xét hàm số \(y=\frac{x^2+2x+3}{x-1}\) xác định trên \((1;3].\)

  • ​\(y’=\frac{x^2-2x-5}{(x+1)^2}\)
  • \(y’ = 0 \Rightarrow {x^2} – 2x – 5 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x = 1 + \sqrt 6 \notin \left( {1;3} \right]\\ x = 1 – \sqrt 6 \notin \left( {1;3} \right] \end{array} \right.\)
  • Bảng biến thiên:

  • Vậy hàm số có giá trị nhỏ nhất \(\mathop {Min}\limits_{x \in (1;3]} y = 9\), Hàm số không có giá trị lớn nhất.

3.2. Dạng 2: Tìm GTLN và GTNN của hàm số trên một đoạn

Tìm GTLN-GTNN của các hàm số sau:

a) Hàm số \(y = f\left( x \right) = – \frac{1}{3}{x^3} + {x^2} – 2x + 1\) trên đoạn \(\left[ { – 1;0} \right]\).

b) Hàm số \(y = f\left( x \right) = \frac{{2x + 1}}{{x – 2}}\) trên đoạn \(\left[ { – \frac{1}{2};1} \right]\).

c) Hàm số \(y = f\left( x \right) = {\sin ^2}x – 2\cos x + 2\).

Lời giải:

a) Hàm số \(y = f\left( x \right) = – \frac{1}{3}{x^3} + {x^2} – 2x + 1\) xác định trên đoạn \(\left[ { – 1;0} \right]\).

  • \({f^/}\left( x \right) = – {x^2} + 2x – 2\)
  • \({f^/}\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow – {x^2} + 2x – 2 = 0\)
  • Ta có: \(f\left( { – 1} \right) = \frac{{11}}{3};f\left( 0 \right) = 1\).
  • Vậy: \(\mathop {\max f\left( x \right)}\limits_{\left[ { – 1;0} \right]} = \frac{{11}}{3}\); \(\mathop {\min f\left( x \right)}\limits_{\left[ { – 1;0} \right]} = 1\)

b) Hàm số \(y = f\left( x \right) = \frac{{2x + 1}}{{x – 2}}\) xác định trên đoạn \(\left[ { – \frac{1}{2};1} \right]\)

  • \({f^/}\left( x \right) = – \frac{5}{{{{\left( {x – 2} \right)}^2}}} < 0,\forall x \in\left [ -\frac{1}{2};1 \right ]\)
  • Ta có: \(f\left( { – \frac{1}{2}} \right) = 0;f\left( 1 \right) = – 3\)
  • Vậy: \(\mathop {\max f\left( x \right)}\limits_{\left[ { – \frac{1}{2};1} \right]} = 0\); \(\mathop {min f\left( x \right)}\limits_{\left[ { – \frac{1}{2};1} \right]} = – 3\)

c)  Hàm số \(y = f\left( x \right) = {\sin ^2}x – 2\cos x + 2\).

  • TXĐ: \(D=\mathbb{R}\)
  • Ta có: \(f\left( x \right) = {\sin ^2}x – 2\cos x + 2 = – c{\rm{o}}{{\rm{s}}^2}x – 2co{\mathop{\rm s}\nolimits} x + 3\)
  • Đặt: \(t = {\cos ^2}x\) suy ra \(t \in \left[ { – 1;1} \right];\forall x \in \mathbb{R}\).
  • Xét hàm số: \(g\left( t \right) = – {t^2} – 2t + 3\) trên đoạn \([-1;1]\).
    • Ta có: \({g^/}\left( t \right) = – 2t – 2\)
    •   \({g^/}\left( t \right) = 0 \Leftrightarrow t = – 1\)
    • Tính: \(g\left( { – 1} \right) = 4;g\left( 1 \right) = 0\).
  • Vậy: \(\max f(x) = \mathop {\max }\limits_{{\rm{[}} – 1;1]} g(t) = 4\); \(\min f(x) = \mathop {\min }\limits_{{\rm{[}} – 1;1]} g(t) = 0\).