Ôn tập chương 4 Bất đẳng thức, bất phương trình

Tóm tắt lý thuyết

1.1. Hệ thống về kiến thức

1.2. Hệ thống về kỹ năng

Bài tập minh họa


Ví dụ 1: Chứng minh bất đẳng thức \(a + \frac{4}{{\left( {a – b} \right){{\left( {b + 1} \right)}^2}}} \ge 3\)

Hướng dẫn:

Điều kiện: \(a>b\geq 0\)

Áp dụng BĐT Cô-si cho các số dương ta có:

\(a+\frac{4}{(a-b)(b+1)^2}=a-b+b+\frac{4}{(a-b)(b+1)^2}\)

\(=(a-b)+\frac{b+1}{2}+\frac{b+1}{2}+\frac{4}{(a-b)(b+1)^2}-1\)

\(\geq 4\sqrt[4]{(a-b).\frac{b+1}{2}.\frac{b+1}{2}.\frac{4}{(a-b)(b+1)^2}}-1\)

\(=4-1=3\)

Ta có đpcm

Dấu “=” xảy ra khi \(a-b=\frac{b+1}{2}=\frac{4}{(a-b)(b+1)^2}\Leftrightarrow a=2; b=1\)

Ví dụ 2: Cho a+b\(\ge\)0, chứng minh \(\dfrac{a+b}{2}\)\(\le\)\(\sqrt{\dfrac{a^2+b^2}{2}}\) 

Hướng dẫn:

Theo bđt cosi ta có:

\(a^2+b^2\ge2ab\)\(\Leftrightarrow2a^2+2b^2\ge a^2+2ab+b^2\)

\(\Leftrightarrow2\left(a^2+b^2\right)\ge\left(a+b\right)^2\)

\(\Leftrightarrow\dfrac{a^2+b^2}{2}\ge\dfrac{\left(a+b\right)^2}{4}\)

\(\Leftrightarrow\sqrt{\dfrac{a^2+b^2}{2}}\ge\dfrac{a+b}{2}\)

Suy ra đpcm

Ví dụ 3: Biểu diễn hình học tập nghiệm bất phương trình bậc nhất hai ẩn

\(\left\{ \begin{array}{l}
3x + y \le 6\\
x + y \le 4\\
2x – y \ge 3\\
– 10x + 5y < 8
\end{array} \right.\)

Hướng dẫn: 

Vẽ các đường thẳng

\(\begin{array}{l}
(a):3x + y = 6\\
(b):x + y = 4\\
(c):2x – y = 3\\
(d): – 10x + 5y = 8
\end{array}\)

Vì điểm M(0;-3) có tọa độ thỏa mãn các bất phương trình trong hệ nên ta tô đậm các mặt phẳng bờ (a), (b), (c), (d) không chứa điểm M. Miền không bị tô đậm là miền nghiệm của hệ đã cho.

Ví dụ 4: Tìm m để phương trình \( – {x^2} + (m + 1)x + {m^2} – 5m + 6 = 0\) (1) có 2 nghiệm trái dấu

Hướng dẫn:

Phương trình (1) có 2 nghiệm trái dấu khi và chỉ khi

\( – 1.\left( {{m^2} – 5m + 4} \right) < 0 \Leftrightarrow \left( {{m^2} – 5m + 4} \right) > 0\)

Vì tam thức \(f(x) = \left( {{m^2} – 5m + 4} \right)\) có 2 nghiệm là \({m_1} = 1,{m_2} = 4\) và hệ số của \(m^2\) dương nên

\(\left( {{m^2} – 5m + 4} \right) > 0 \Leftrightarrow m > 4 \vee m < 1\)

Vậy phương trình đã cho có 2 nghiệm trái dấu khi và chỉ khi \(m > 4 \vee m < 1\)