Bài 3: Phương trình và hệ phương trình bậc nhất nhiều ẩn

Tóm tắt lý thuyết

1.1. Phương trình bậc nhất hai ẩn

Phương trình bậc nhất hai ẩn x, y có dạng tổng quát là ax +by = c, trong đó a, b, c là các hệ số, với điều kiện a và b không đồng thời bằng 0.

Ví dụ: Phương trình 3x – 2y = 6

1.2. Hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn

a) Định nghĩa

Hệ phương trình bậc nhất hai ẩn là hệ phương trình có dạng:

\(\left\{ \begin{array}{l}
{a_1}x + {b_1}y = {c_1}\\
{a_2}x + {b_2}y = {c_2}
\end{array} \right.\,\,(a_1^2 + b_1^2 \ne 0,\,\,a_2^2 + b_2^2 \ne 0)\)

b) Giải và biện luận hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn

Tính các định thức: \(D = \left| {\begin{array}{*{20}{c}}{{a_1}}&{{b_1}}\\{{a_2}}&{{b_2}}\end{array}} \right|\),   \({D_x} = \left| {\begin{array}{*{20}{c}}{{c_1}}&{{b_1}}\\{{c_2}}&{{b_2}}\end{array}} \right|\),  \({D_y} = \left| {\begin{array}{*{20}{c}}{{a_1}}&{{c_1}}\\{{a_2}}&{{c_2}}\end{array}} \right|\).

Xét định thức Kết quả
\(D \ne 0\) Hệ có nghiệm duy nhất \(\left( {x = \frac{{{D_x}}}{D};y = \frac{{{D_y}}}{D}} \right)\)
D=0 \(D_x \ne 0\) hoặc \(D_y \ne 0\) Hệ vô nghiệm
\(D_x=D_y\) Hệ có vô số nghiệm

Chú ý: Để giải hệ phương trình bậc nhất hai ẩn ta có thể dùng các cách giải đã biết như:  phương pháp thế, phương pháp cộng đại số.

1.3. Hệ phương trình bậc nhất nhiều ẩn

Nguyên tắc chung để giải các hệ phương trình nhiều ẩn là khử bớt ẩn để đưa về các phương trình hay hệ phương trình có số ẩn ít hơn. Để khử bớt ẩn, ta cũng có thể dùng các phương pháp cộng đại số, phương pháp thế như đối với hệ phương trình bậc nhất hai ẩn

Bài tập minh họa


DẠNG TOÁN 1: GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT HAI ẨN, BA ẨN

Phương pháp giải

Sử dụng phương pháp cộng đại số, phương pháp thế, dùng định thức.

Ví dụ 1:

Giải các hệ phương trình sau:

a) \(\left\{ \begin{array}{l}5x – 4y = 3\\7x – 9y = 8\end{array} \right.\)

b) \(\left\{ \begin{array}{l}2x + y = 11\\5x – 4y = 8\end{array} \right.\)

Hướng dẫn:

a) Ta có \(D = \left| {\begin{array}{*{20}{c}}5&{ – 4}\\7&{ – 9}\end{array}} \right| =  – 17\), \({D_x} = \left| {\begin{array}{*{20}{c}}3&{ – 4}\\8&{ – 9}\end{array}} \right| = 5,\,\,{D_y} = \left| {\begin{array}{*{20}{c}}5&3\\7&8\end{array}} \right| = 19\)

Suy ra hệ phương trình có nghiệm là \(\left( {x;y} \right) = \left( {\frac{{{D_x}}}{D};\frac{{{D_y}}}{D}} \right) = \left( { – \frac{5}{{17}}; – \frac{{19}}{{17}}} \right)\)

b) Ta có \(D = \left| {\begin{array}{*{20}{c}}2&1\\5&{ – 4}\end{array}} \right| =  – 13\), \({D_x} = \left| {\begin{array}{*{20}{c}}{11}&1\\8&{ – 4}\end{array}} \right| =  – 52,\,\,{D_y} = \left| {\begin{array}{*{20}{c}}2&{11}\\5&8\end{array}} \right| =  – 39\)

Suy ra hệ phương trình có nghiệm là \(\left( {x;y} \right) = \left( {\frac{{{D_x}}}{D};\frac{{{D_y}}}{D}} \right) = \left( {4;3} \right)\)

Ví dụ 2:

Giải các hệ phương trình sau:

a) \(\left\{ \begin{array}{l}(x + 3)y – 5) = xy\\(x – 2)(y + 5) = xy\end{array} \right.\)

b) \(\left\{ \begin{array}{l}\left| {x – y} \right| = \sqrt 2 \\2x – y =  – 1\end{array} \right.\)

c) \(\left\{ \begin{array}{l}\frac{{3(x + y)}}{{x – y}} =  – 7\\\frac{{5x – y}}{{y – x}} = \frac{5}{3}\end{array} \right.\)

Hướng dẫn:

a) Hệ phương trình tương đương với \(\left\{ \begin{array}{l}xy – 5x + 3y – 15 = xy\\xy + 5x – 2y – 10 = xy\end{array} \right.\)

\( \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{ – 5x + 3y = 15}\\{5x – 2y = 10}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{y = 25}\\{5x – 2y = 10}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 12}\\{y = 25}\end{array}} \right.\)

Vậy hệ phương trình có nghiệm là \(\left( {x;y} \right) = \left( {12;25} \right)\)

b) Hệ phương trình tương đương với\(\left\{ \begin{array}{l}x – y =  \pm \sqrt 2 \\2x – y =  – 1\end{array} \right.\)

\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x – y = \sqrt 2 \\2x – y =  – 1\end{array} \right.\) (1) hoặc \(\left\{ \begin{array}{l}x – y =  – \sqrt 2 \\2x – y =  – 1\end{array} \right.\) (2)

Ta có \(\left( 1 \right) \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x =  – 1 – \sqrt 2 \\2x – y =  – 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x =  – 1 – \sqrt 2 }\\{y =  – 1 – 2\sqrt 2 }\end{array}} \right.\)

\(\left( 2 \right) \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x =  – 1 + \sqrt 2 \\2x – y =  – 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x =  – 1 – \sqrt 2 }\\{y =  – 1 + 2\sqrt 2 }\end{array}} \right.\)

Vậy hệ phương trình có nghiệm \(\left( {x;y} \right)\)  là  \(\left( { – 1 – \sqrt 2 ; – 1 – 2\sqrt 2 } \right)\) và \(\left( { – 1 – \sqrt 2 ; – 1 + 2\sqrt 2 } \right)\)

c) ĐKXĐ: \(x \ne y\)

Hệ phương trình tương đương với \(\left\{ \begin{array}{l}3(x + y) =  – 7\left( {x – y} \right)\\3\left( {5x – y} \right) = 5\left( {y – x} \right)\end{array} \right.\)

\( \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{10x – 4y = 0}\\{20x – 8y = 0}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 0}\\{y = 0}\end{array}} \right.\) (không thỏa mãn)

Vậy hệ phương trình vô nghiệm.

 

DẠNG TOÁN 2: GIẢI VÀ BIỆN LUẬN HỆ HAI PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT HAI ẨN

Phương pháp giải:

Sử dụng định thức: Tính \(D,\,{D_x},\,{D_y}\)

\( \bullet \) Nếu \(D \ne 0\) thì hệ có nghiệm duy nhất \(\left( {x;y} \right) = \left( {\frac{{{D_x}}}{D};\frac{{{D_y}}}{D}} \right)\)

\( \bullet \) Nếu \(D = 0\) thì ta xét \({D_x},\,{D_y}\)

Với \(\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{{D_x} \ne 0}\\{{D_y} \ne 0}\end{array}} \right.\) khi đó phương trình vô nghiệm

Với \({D_x} = {D_y} = 0\) thì hệ phương trình có vô số nghiệm tập nghiệm của hệ phương trình là tập nghiệm của một trong hai phương trình có trong hệ.

Ví dụ:

Giải và biện luận hệ phương trình:\(\left\{ \begin{array}{l}mx – y = 2m\\4x – my = m + 6\end{array} \right.\)

Hướng dẫn:

Ta có \(D = \left| {\begin{array}{*{20}{c}}m&{ – 1}\\4&{ – m}\end{array}} \right| = 4 – {m^2} = \left( {2 – m} \right)\left( {2 + m} \right)\)

\({D_x} = \left| {\begin{array}{*{20}{c}}{2m}&{ – 1}\\{m + 6}&{ – m}\end{array}} \right| =  – 2{m^2} + m + 6 = \left( {2 – m} \right)\left( {2m + 3} \right)\)
\({D_y} = \left| {\begin{array}{*{20}{c}}m&{2m}\\4&{m + 6}\end{array}} \right| = {m^2} – 2m = m\left( {m – 2} \right)\)

  • Với \({\rm{D}} \ne 0 \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{m \ne 2}\\{m \ne  – 2}\end{array}} \right.\): Hệ phương trình có nghiệm duy nhất \(\left( {x;y} \right) = \left( {\frac{{{D_x}}}{D};\frac{{{D_y}}}{D}} \right) = \left( {\frac{{2m + 3}}{{2 + m}}; – \frac{m}{{2m + 1}}} \right)\)
  • Với \({\rm{D = }}0 \Leftrightarrow m =  \pm 2\):

+ Khi \(m = 2\) ta có \({\rm{D}} = {D_x} = {D_y} = 0\) nên hệ phương trình có nghiệm là nghiệm của phương trình \(2x – y = 4 \Leftrightarrow y = 2x – 4\). Do đó hệ phương trình có nghiệm là  \(\left( {x;y} \right) = \left( {t;2t – 4} \right),\,\,t \in R\).

+ Khi \(m =  – 2\) ta có \(D = 0,\,{D_x} \ne 0\) nên hệ phương trình vô nghiệm

Kết luận

\(m \ne 2\) và \(m \ne  – 2\) hệ phương trình có nghiệm duy nhất\(\left( {x;y} \right) = \left( {\frac{{2m + 3}}{{2 + m}}; – \frac{m}{{2m + 1}}} \right)\)

\(m = 2\)hệ phương trình có nghiệm là  \(\left( {x;y} \right) = \left( {t;2t – 4} \right),\,\,t \in R\).

\(m =  – 2\) hệ phương trình vô nghiệm