Bài 3: Phương trình đường elip

 

Tóm tắt lý thuyết

1.1. Định nghĩa đường elip

Cho hai điểm cố định F1, F2 và một độ dài không đổi 2a lớn hơn F1F2. Elip là tập hợp các điểm M trong mặt phẳng sao cho

F1M+F2M=2a

Các điểm F1 và F2 gọi là các tiêu điểm của elip. Độ dài F1F2 gọi là tiêu cự của elip.

1.2. Phương trình chính tắc của elip

Cho elip (E) có các tiêu điểm F1 và F2. Điểm M thuộc elip khi và chỉ khi F1M+F2M=2a. Chọn hệ trục tọa độ Oxy sa cho F1=(-c;0) và F2=(c;0). Khi đó phương trình chính tắc của elip là:

\(\frac{{{x^2}}}{{{a^2}}} + \frac{{{y^2}}}{{{b^2}}} = 1\)

trong đó b= a– c2

1.3. Hình dạng của elip

+ (E) có trục đối xứng là Ox, Oy và có tâm đối xứng là O

+ Các điểm A1, A2, B1, B2 gọi là các đỉnh của elip

+ Đoạn thẳng A1A2 gọi là trục lớn, đoạn thẳng B1B2 gọi là trục nhỏ của elip.

1.4. Liên hệ giữa đường tròn và đường elip

+ Từ hệ thức b= a– cta thấy nếu tiêu cự càng nhỏ thì b càng gần a, tức là trục nhỏ của elip càng gần trục lớn. Lúc đó elip có dạng gần như đường tròn.

+ Cho đường tròn (C) có phương trình \({x^2} + {y^2} = {a^2}\)

Với mỗi điểm M(x;y) thuộc đường tròn, xét điểm M'(x’;y’) sao cho \(\left\{ \begin{array}{l}
x’ = x\\
y’ = \frac{b}{a}y
\end{array} \right.\left( {0 < b < a} \right)\)

thì tập hợp các điểm M’ có tọa độ thỏa phương trình \(\frac{{{x’^2}}}{{{a^2}}} + \frac{{{y’^2}}}{{{b^2}}} = 1\) là một elip (E)

Ta nói đường tròn (C) được co thành elip (E).

Bài tập minh họa


Ví dụ 1: Xác định độ dài các trục, tọa độ các tiêu điểm, tọa độ các đỉnh của elip có phương trình

\(\frac{{{x^2}}}{9} + \frac{{{y^2}}}{1} = 1\)

Hướng dẫn:

Ta có a= 9⇒ a = 3, b= 1 ⇒ b = 1

Vậy c= a– b= 9 – 1 = 8 ⇒ c = \(2\sqrt 2 \)

Độ dài trục lớn là A1A= 2a = 6

Độ dài trục nhỏ là: B1B= 2b = 2

Tiêu điểm là: \({F_1}\left( { – 2\sqrt 2 ;0} \right),{F_2}\left( {2\sqrt 2 ;0} \right)\)

Tọa độ các đỉnh là \({A_1}\left( { – 3;0} \right),{A_2}\left( {3;0} \right),{B_1}\left( {0; – 1} \right),{B_2}\left( {0;1} \right)\)

Ví dụ 2: Lập phương trình chính tắc của elip, biết:

a) (E) đi qua điểm \(M\left( {\frac{3}{{\sqrt 5 }};\frac{4}{{\sqrt 5 }}} \right)\) và M nhìn hai tiêu điểm \({F_1},{F_2}\) dưới một góc vuông.

b) (E) đi qua \(M\left( {\sqrt 3 ;\frac{{\sqrt 6 }}{2}} \right)\) và một tiêu điểm F nhìn trục nhỏ dưới góc 60o.

Hướng dẫn:

a) Do (E) đi qua M nên \(\frac{9}{{5{a^2}}} + \frac{{16}}{{5{b^2}}} = 1\) (1); Lại có \({\widehat {{F_1}MF}_2} = {90^0} \Leftrightarrow OM = \frac{1}{2}{F_1}{F_2} = c \Leftrightarrow c = \sqrt 5 \)

Như vậy ta có  hệ điều kiện \(\left\{ \begin{array}{l}
\frac{9}{{5{a^2}}} + \frac{{16}}{{5{b^2}}} = 1\\
{a^2} – {b^2} = 5
\end{array} \right.\). Giải hệ ta được \({a^2} = 9;{b^2} = 4 \Rightarrow (E):\frac{{{x^2}}}{9} + \frac{{{y^2}}}{4} = 1\).

b) Tiêu điểm F nhìn trục nhỏ dưới góc 60o nên tam giác FB1B2 đều (B1, B2 là hai đỉnh trên trục nhỏ), suy ra \(c = b\sqrt 3  \Rightarrow a = 2b\), từ đó tìm ra \((E):\frac{{{x^2}}}{9} + \frac{{{y^2}}}{{\frac{9}{4}}} = 1\)

Ví dụ 3: Cho elip \((E):\frac{{{x^2}}}{4} + \frac{{{y^2}}}{1} = 1\). Tìm điểm \(M \in (E)\) sao cho \(M{F_1} = 2M{F_2}\).

Hướng dẫn:

Gọi \(M(x;y) \Rightarrow M{F_1} = 2 + \frac{{\sqrt 3 }}{2}x;M{F_2} = 2 – \frac{{\sqrt 3 }}{2}x\). Từ \(M{F_1} = 2M{F_2} \Rightarrow x = \frac{4}{{3\sqrt 3 }}\)

Từ đó tìm ra \(y =  \pm \frac{{\sqrt {23} }}{{3\sqrt 3 }}\). Vậy có hai điểm M cần tìm là \(M\left( {\frac{4}{{3\sqrt 3 }}; \pm \frac{{\sqrt {23} }}{{3\sqrt 3 }}} \right)\).