Bài 3: Công thức lượng giác

Tóm tắt lý thuyết

1.1. Công thức cộng

cos( a – b) = cosa.cosb + sina.sinb

cos( a + b) = cosa.cosb – sina.sinb

sin(a – b) = sina.cosb – cosa.sinb

sin(a + b) = sina.cosb + cosa.sinb

\(\tan (a – b) = \frac{{\tan a – \tan b}}{{1 + \tan a.\tan b}}\)       

\(\tan (a + b) = \frac{{\tan a + \tan b}}{{1 – \tan a.\tan b}}\)

Cách ghi nhớ: 

Sin thì sin cos cos sin
Cos thì cos cos sin sin “coi chừng” (dấu trừ).
Tang tổng thì lấy tổng tang
Chia một trừ với tích tang, dễ òm.

1.2. Công thức nhân đôi

* Công thức nhân đôi

sin2a = 2sina.cosa

cos2a = cos2a – sin2a = 2cos2a – 1= 1 – 2sin2a

\(\tan 2a = \frac{{2\tan a}}{{1 – {{\tan }^2}a}}\)

Cách ghi nhớ:

Sin gấp đôi = 2 sin cos
Cos gấp đôi = bình cos trừ bình sin
= trừ 1 cộng hai lần bình cos
= cộng 1 trừ hai lần bình sin
Tang gấp đôi
Tang đôi ta lấy đôi tang (2 tang)
Chia 1 trừ lại bình tang, ra liền.

* Công thức hạ bậc

\(\begin{array}{l}
c{\rm{o}}{{\rm{s}}^2}a = \frac{{1 + c{\rm{os}}2a}}{2}\\
{\rm{si}}{{\rm{n}}^2}a = \frac{{1 – c{\rm{os}}2a}}{2}\\
{\tan ^2}a = \frac{{1 – c{\rm{os}}2a}}{{1 + c{\rm{os}}2a}}
\end{array}\)

1.3. Công thức biến đổi tích thành tổng, tổng thành tích

1.3.1. Công thức biến đổi tích thành tổng

\(\begin{array}{l}
\cos a.\cos b = \frac{1}{2}{\rm{[}}c{\rm{os}}(a – b) + c{\rm{os}}(a + b){\rm{]}}\\
\sin a.\sin b = \frac{1}{2}{\rm{[}}c{\rm{os}}(a – b) – c{\rm{os}}(a + b){\rm{]}}\\
\sin a.\cos b = \frac{1}{2}{\rm{[}}\sin (a – b) + \sin (a + b){\rm{]}}
\end{array}\)

Cách ghi nhớ:

Cos cos nửa cos-cộng, cộng cos-trừ
Sin sin nửa cos-trừ trừ cos-cộng
Sin cos nửa sin-cộng cộng sin-trừ 

1.3.2. Công thức biến đổi tổng thành tích

\(\begin{array}{l}
\cos u + \cos v = 2\cos \frac{{u + v}}{2}\cos \frac{{u – v}}{2}\\
\cos u + \cos v = 2\cos \frac{{u + v}}{2}\cos \frac{{u – v}}{2}\\
\sin u + \sin v = 2\sin \frac{{u + v}}{2}\cos \frac{{u – v}}{2}\\
\sin u – \sin v = 2\cos \frac{{u + v}}{2}\sin \frac{{u – v}}{2}
\end{array}\)

Cách ghi nhớ:

Cos cộng cos bằng hai cos cos
cos trừ cos bằng trừ hai sin sin
Sin cộng sin bằng hai sin cos
sin trừ sin bằng hai cos sin.

Bài tập minh họa


Ví dụ 1: Tính \(\sin \frac{{5\pi }}{{12}};c{\rm{os}}\frac{{7\pi }}{{12}}\)

Hướng dẫn:

Sử dụng công thức cộng đối với sin và cos

* Ta có \(\sin \frac{{5\pi }}{{12}} = \sin \frac{{2\pi  + 3\pi }}{{12}} = \sin (\frac{\pi }{6} + \frac{\pi }{4})\)

\(\begin{array}{l}
= \sin \frac{\pi }{6}.c{\rm{os}}\frac{\pi }{4} + c{\rm{os}}\frac{\pi }{6}.\sin \frac{\pi }{4}\\
= \frac{1}{2}.\frac{{\sqrt 2 }}{2} + \frac{{\sqrt 3 }}{2}.\frac{{\sqrt 2 }}{2} = \frac{{\sqrt 2  + \sqrt 6 }}{4}
\end{array}\)

* Ta có \(c{\rm{os}}\frac{{7\pi }}{{12}} = c{\rm{os}}\frac{{3\pi  + 4\pi }}{{12}} = \cos (\frac{\pi }{4} + \frac{\pi }{3})\)

\(\begin{array}{l}
= c{\rm{os}}\frac{\pi }{4}.c{\rm{os}}\frac{\pi }{3} – \sin \frac{\pi }{4}.\sin \frac{\pi }{3} = \frac{{\sqrt 2 }}{2}.\frac{1}{2} – \frac{{\sqrt 2 }}{2}.\frac{{\sqrt 3 }}{2}\\
= \frac{{\sqrt 2  – \sqrt 6 }}{4}
\end{array}\)

Ví dụ 2: Chứng minh rằng

\(\begin{array}{l}
a){\rm{ }}\tan (\frac{\pi }{4} – a) = \frac{{1 – {\mathop{\rm t}\nolimits} {\rm{ana}}}}{{1 + {\mathop{\rm t}\nolimits} {\rm{ana}}}}\\
b){\rm{ }}\tan (\frac{\pi }{4} + a) = \frac{{1 + {\mathop{\rm t}\nolimits} {\rm{ana}}}}{{1 – {\mathop{\rm t}\nolimits} {\rm{ana}}}}
\end{array}\)

Hướng dẫn:

Sử dụng công thức cộng đối với tan

\(\begin{array}{l}
a)\tan (\frac{\pi }{4} – a) = \frac{{\tan \frac{\pi }{4} – {\mathop{\rm t}\nolimits} {\rm{ana}}}}{{\tan \frac{\pi }{4} + {\mathop{\rm t}\nolimits} {\rm{ana}}}} = \frac{{1 – {\mathop{\rm t}\nolimits} {\rm{ana}}}}{{1 + {\mathop{\rm t}\nolimits} {\rm{ana}}}}\\
b)\tan (\frac{\pi }{4} + a) = \frac{{\tan \frac{\pi }{4} + {\mathop{\rm t}\nolimits} {\rm{ana}}}}{{\tan \frac{\pi }{4} – {\mathop{\rm t}\nolimits} {\rm{ana}}}} = \frac{{1 + {\mathop{\rm t}\nolimits} {\rm{ana}}}}{{1 – {\mathop{\rm t}\nolimits} {\rm{ana}}}}
\end{array}\)

Ví dụ 3: Tính sin2a, cos2a, tan2a biết \(\sin a =  – \frac{3}{5}{\rm{, }}\pi {\rm{ < a < }}\frac{{3\pi }}{2}\)

Hướng dẫn:

+ Tính cos a bằng công thức lượng giác cơ bản thích hợp

+ Áp dụng công thức nhân đôi

\(\begin{array}{l}
{\sin ^2}a + c{\rm{o}}{{\rm{s}}^2}a = 1 \Leftrightarrow c{\rm{o}}{{\rm{s}}^2}a = 1 – {\sin ^2}a\\
\Leftrightarrow c{\rm{o}}{{\rm{s}}^2}a = 1 – {( – \frac{3}{5})^2} = \frac{{16}}{{25}} \Leftrightarrow \cos a =  \pm \frac{4}{5}
\end{array}\)

Vì \(\pi {\rm{ < a < }}\frac{{3\pi }}{2}\) nên \(\cos a =  – \frac{4}{5}\)

Vậy \(\sin 2a = 2\sin a.\cos a = 2.( – \frac{3}{5})( – \frac{4}{5}) = \frac{{24}}{{25}}\)

\(\begin{array}{l}
\cos 2a = 2{\cos ^2}a – 1 = 2{( – \frac{4}{5})^2} – 1 = \frac{{32}}{{25}} – 1 = \frac{7}{{25}}\\
\tan 2a = \frac{{\sin 2a}}{{c{\rm{os}}2a}} = \frac{{24}}{{25}}.\frac{{25}}{7} = \frac{{24}}{7}
\end{array}\)

Ví dụ 4: Tính \({\rm{sin}}\frac{\pi }{8};\tan \frac{\pi }{8}\)

Hướng dẫn:

Sử dụng công thức hạ bậc

Ta có \({\sin ^2}\frac{\pi }{8} = \frac{{1 – c{\rm{os}}\frac{\pi }{4}}}{2} = \frac{{1 – \frac{{\sqrt 2 }}{2}}}{2} = \frac{{2 – \sqrt 2 }}{4}\)

Vì \(\sin \frac{\pi }{8} > 0\) nên suy ra \(\sin \frac{\pi }{8} = \frac{{\sqrt {2 – \sqrt 2 } }}{2}\)

\({\tan ^2}\frac{\pi }{8} = \frac{{1 – c{\rm{os}}\frac{\pi }{4}}}{{1 + c{\rm{os}}\frac{\pi }{4}}} = \frac{{1 – \frac{{\sqrt 2 }}{2}}}{{1 + \frac{{\sqrt 2 }}{2}}} = \frac{{2 – \sqrt 2 }}{{2 + \sqrt 2 }}\)

Vì \(\tan \frac{\pi }{8} > 0\) nên suy ra \(\tan \frac{\pi }{8} = \sqrt {\frac{{2 – \sqrt 2 }}{{2 + \sqrt 2 }}}  = \sqrt {\frac{{{{(2 – \sqrt 2 )}^2}}}{2}}  = \sqrt {3 – 2\sqrt 2 }  = \sqrt 2  – 1\)

Ví dụ 5: Tính giá trị của các biểu thức

\(A = \sin \frac{{15\pi }}{{12}}\cos \frac{{5\pi }}{{12}};B = \cos {75^ \circ }.\cos {15^ \circ }\)

Hướng dẫn:

Sử dụng công thức biến đổi tích thành tổng

\(\begin{array}{l}
A = \sin \frac{{15\pi }}{{12}}\cos \frac{{5\pi }}{{12}} = \frac{1}{2}\left[ {\sin \left( {\frac{{15\pi }}{{12}} – \frac{{5\pi }}{{12}}} \right) + \sin \left( {\frac{{15\pi }}{{12}} + \frac{{5\pi }}{{12}}} \right)} \right]\\
= \frac{1}{2}\left[ {\sin \frac{{10\pi }}{{12}} + \sin \frac{{20\pi }}{{12}}} \right] = \frac{1}{2}\left[ {\sin \frac{{5\pi }}{6} + \sin \frac{{5\pi }}{3}} \right]\\
= \frac{1}{2}\left[ {\sin \frac{\pi }{6} + \sin \left( { – \frac{{2\pi }}{3}} \right)} \right] = \frac{1}{2}(\frac{1}{2} – \frac{{\sqrt 3 }}{2}) = \frac{1}{4}\left( {1 – \sqrt 3 } \right)
\end{array}\)

\(\begin{array}{l}
B = \cos {75^ \circ }.\cos {15^ \circ }\\
= \frac{1}{2}\left[ {\cos \left( {{{75}^0} – {{15}^0}} \right) + \cos \left( {{{75}^0} + {{15}^0}} \right)} \right]\\
= \frac{1}{2}\left[ {\cos {{60}^0} + \cos {{90}^0}} \right] = \frac{1}{2}\left[ {\frac{1}{2} + 0} \right] = \frac{1}{4}
\end{array}\)

Ví dụ 6: Chứng minh đẳng thức

\({\mathop{\rm s}\nolimits} {\rm{inx}} + \cos x = \sqrt 2 .\sin (x + \frac{\pi }{4})\)

Hướng dẫn:

Áp dụng công thức biến đổi tổng thành tích để biến đổi vế trái thành vế phải của đẳng thức (có thể áp dụng công thức cộng, biến đổi VP thành VT của đẳng thức)

\(\begin{array}{l}
VT{\rm{ = sinx}} + \cos x = \sin x + \sin (\frac{\pi }{2} – x)\\
= 2\sin \frac{\pi }{4}.\cos (x – \frac{\pi }{4}) = 2.\frac{{\sqrt 2 }}{2}.\cos (\frac{\pi }{4} – x)\\
= \sqrt 2 .\sin [\frac{\pi }{2} – (\frac{\pi }{4} – x){\rm{]}} = \sqrt 2 .\sin (x + \frac{\pi }{4}) = VP
\end{array}\)