Bài 2: Phương trình đường tròn

Tóm tắt lý thuyết

1.1. Phương trình đường tròn có tâm và bán kính cho trước

Trong mặt phẳng Oxy cho đường tròn (C) tâm I(a;b) bán kính R.
Ta có \(M\left( {x;y} \right) \subset \left( C \right) \Leftrightarrow IM = R\)
\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow \sqrt {{{\left( {x – a} \right)}^2} + {{\left( {y – b} \right)}^2}} = R\\ \Leftrightarrow {\left( {x – a} \right)^2} + {\left( {y – b} \right)^2} = {R^2} \end{array}\)
Vì vậy, phương trình \({{{\left( {x – a} \right)}^2} + {{\left( {y – b} \right)}^2} = {R^2}}\) được gọi là phương trình đường tròn tâm I(a;b) bán kính R

Chú ý:

Phương trình đường tròn có tâm là gốc tọa độ O và có bán kính R là: \({x^2} + {y^2} = {R^2}\)

1.2. Nhận xét

Phương trình đường tròn \({{{\left( {x – a} \right)}^2} + {{\left( {y – b} \right)}^2} = {R^2}}\) có thể viết lại dưới dạng \({x^2} + {y^2} – 2{\rm{ax}} – 2by + c = 0\) trong đó \(c=a^2+b^2-R^2\).

Ngược lại, phương trình \({x^2} + {y^2} – 2{\rm{ax}} – 2by + c = 0\) là phương trình của đường tròn (C) khi và chỉ khi \({a^2} + {b^2} – c > 0\). Khi đó đường tròn (C) có tâm I(a;b) và bán kính \(R = \sqrt {{a^2} + {b^2} – c} \)

1.3. Phương trình tiếp tuyến của đường tròn


Cho điểm \(M_0\left( {{x_0};{y_0}} \right)\) nằm trên đường tròn tâm I(a;b). Gọi \(\Delta\) là tiếp tuyến của (C) tại \(M_0\)
Ta có \(M_0\) thuộc \(\Delta\) và vectơ \(\overrightarrow {I{M_0}} = \left( {{x_0} – a;{y_0} – b} \right)\) là vectơ pháp tuyến của \(\Delta\). Do đó, \(\Delta\) có phương trình là:
\(\left( {{x_0} – a} \right)\left( {x – {x_0}} \right) + \left( {{y_0} – b} \right)\left( {y – {y_0}} \right) = 0\)
Đây chính là phương trình tiếp tuyến của đường tròn \({{{\left( {x – a} \right)}^2} + {{\left( {y – b} \right)}^2} = {R^2}}\) tại điểm \(M_0\) trên đường tròn.

 

Bài tập minh họa


Bài 1: Tìm tâm và bán kính của các đường tròn sau:
a) \({x^2} + {y^2} + 8{\rm{x}} – 6y + 16 = 0\)
b) \(4{x^2} + 4{y^2} + 5{\rm{x}} – 16y + 10 = 0\)
Hướng dẫn:
a) \(\begin{array}{l} {x^2} + {y^2} + 8{\rm{x}} – 6y + 16 = 0\\ \Leftrightarrow {x^2} + 8{\rm{x}} + 16 + {y^2} – 6y + 9 = 9\\ \Leftrightarrow {\left( {x + 4} \right)^2} + {\left( {y – 3} \right)^2} = {3^2} \end{array}\)
Nên đường tròn có tâm I(-4;3) và bán kính R = 3.
b) \(\begin{array}{l} 4{x^2} + 4{y^2} + 5{\rm{x}} – 16y + 10 = 0\\ \Leftrightarrow {x^2} + {y^2} + \frac{{5{\rm{x}}}}{4} – 4y + \frac{5}{2} = 0\\ \Leftrightarrow {x^2} + 2.x.\frac{5}{8} + \frac{{25}}{{64}} + {y^2} – 4y + 4 = \frac{{121}}{{64}}\\ \Leftrightarrow {\left( {x + \frac{5}{8}} \right)^2} + {\left( {y – 2} \right)^2} = {\left( {\frac{{11}}{8}} \right)^2} \end{array}\)
Nên đường tròn có tâm \(I\left( {\frac{{ – 5}}{8};2} \right)\) và bán kính \(R = \frac{{11}}{8}\)

Bài 2: Viết phương trình đường tròn đi qua 3 điểm: A(1;2), B(3;4) C(1;6)
Hướng dẫn: Tâm I của đường tròn này là giao điểm của đường trung trực của AB và BC.
ptđt trung trực  AB: x + y – 5 = 0
ptđt trung trực BC: x – y + 3 = 0
Nên tâm I (1;4) và R = 2
Vậy phương trình đường tròn: (C): \({\left( {x – 1} \right)^2} + {\left( {y – 4} \right)^2} = 4\)

Bài 3: Trong mặt phẳng Oxy, cho đường tròn \(\left( C \right):{x^2} + {y^2} – 4{\rm{x}} – 6y + 3 = 0\) có tâm I và đường thẳng \(d:x – 2y – 11 = 0\). Tìm hai điểm A và B trên đường tròn (C) sao cho AB song song với d và tam giác IAB là tam giác vuông cân.
Hướng dẫn: