Bài 3: Con lắc đơn

Tóm tắt lý thuyết

2.1. Cấu tạo con lắc đơn

  • Gồm một vật nhỏ khối lượng m, treo ở đầu dưới một sợi dây không dãn, khối lượng không đáng kể, chiều dài \(l\), đầu trên sợi dây được treo vào điểm cố định.

2.2. Phương trình dao động điều hòa của con lắc đơn

  • Các phương trình dao động điều hòa:
    • Li độ cong: \(s=s_0 cos(\omega t+ \varphi)\)       (cm, m)
    • Li độ góc: \(\alpha=\alpha_0 cos(\omega t+ \varphi)\)       (độ, rad)
  • Chú ý:
    • Con lắc đơn dao động điều hòa khi góc lệch nhỏ và bỏ qua mọi ma sát.
    • \(s=l.\alpha\) và \(s_0=l.\alpha_0\) với \(\alpha\) và \(\alpha_0\) có đơn vị rad.

2.3. Chu kì, tần số và tần số góc của con lắc đơn

  • Tần số góc: \(\omega=\sqrt{\frac{g}{l}}\)
  • Chu kì của con lắc đơn: \(T=2 \pi\sqrt{\frac{l}{g}}\)
  • Tần số của con lắc đơn: \(f=\frac{1}{2\pi} \sqrt{\frac{g}{l}}\)
  • Nhận xét: Khi con lắc dao động điều hòa thì chu kì không phụ thuộc khối lượng vật nặng và cũng không phụ thuộc biên độ.

2.4. Năng lượng của con lắc đơn dao động điều hòa

a. Động năng của con lắc đơn:

\(W_d= \frac{1}{2}mv^2\)

b. Thế năng của con lắc đơn:

\(W_t= mgl(1-cos \alpha)\)

c. Cơ năng của con lắc đơn:

\(W= \frac{1}{2}mv^2 + mgl(1-cos \alpha)= mgl(1-cos \alpha_0)=\frac{1}{2}mv_{max}^2\)

  • Nếu bỏ qua ma sát thì cơ năng của con lắc được bảo toàn.
  • Chú ý: Công thức đúng với mọi li độ góc \(\alpha\leq 90^0\)

Bài tập minh họa



Bài 1:

Một con lắc đơn có chiều dài \(l=16cm\). Kéo con lắc lệch khỏi vị trí cân bằng một góc 90 rồi thả nhẹ. Bỏ qua mọi ma sát , lấy g=10 m/s2 , \(\pi^2= 10\). Chọn gốc thời gian lúc thả vật , chiều dương là chiều chuyển động ban đầu của vật. Viết phương trình dao động  của vật theo li độ góc.

Hướng dẫn giải: 

Ta có: \(\omega=\sqrt{\frac{g}{l}}\)= 2,5 (rad/s),  \(cos \varphi=\frac{\alpha}{\alpha_0}=\frac{- \alpha_0}{\alpha_0}= -1=cos \pi \Rightarrow \varphi = \pi (rad)\)

Vậy: \(\alpha= 0,157 cos (2,5\pi+\pi)\) (rad)

Bài 2:

Con lắc đơn có chiều dài \(\small l=20 cm\). Tại tại thời điểm t=0, từ vị trí cân bằng con lắc được truyền vận tốc 14 cm/s theo chiều dương của trục tọa độ. Lấy g=9,8 m/s2 . Viết phương trình dao động của con lắc theo li độ dài.

Hướng dẫn giải:

Ta có: \(\small \omega= 7\) rad/s ; \(\small S_0= \frac{v}{\omega}= 2cm; cos \varphi =\frac{s}{S_0}=0=Cos(\pm \frac{\pi}{2})\)

Vì \(\small v> 0\) Nên \(\small \varphi =-\frac{\pi}{2}\)

Vậy \(\small s= 2 cos (7t-\frac{\pi}{2})\) (cm)

Bài 3:

Một con lắc đơn dao động điều hoà theo phương trình li độ góc \(\small \alpha=0,1 cos (2\pi t + \frac{\pi}{4})\) (rad). Trong khoảng thời gian 5,25s tính từ thời điểm con lắc bắt đầu dao động, có bao nhiêu lần con lắc có độ lớn vận tốc bằng 1/2 vận tốc cực đại của nó?

Hướng dẫn giải:

Trong một chu kỳ dao động có 4 lần \(v = \frac{{{v_{max}}}}{2}\) tại vị trí \({W_d} = \frac{W}{4} \Rightarrow {W_t} = \frac{3}{4}{W_t}_{max}\)

Tức là lúc li độ

\(\small \alpha=\pm \frac{\alpha_{max} \sqrt{3}}{2}\)  với chu kì con lắc đơn đã cho T=1s

ta có \(\small t=5,25 s = 5T+\frac{1}{4}T\)

Khi \(\small t= 0s\)  thì \(\small \alpha_0 = 0,1 cos(\frac{\pi}{4})\) = \(\small \frac{\alpha_{max}\sqrt{2}}{2}\) ;  vật chuyển động theo chiều âm về VTCB

Sau 5 chu kì vật trở lại vị trí ban đầu, sau T/4 tiếp vật chưa qua được vị trí \(\small \alpha=-\frac{\alpha_{max}\sqrt{3}}{2}\)

Do đó: Trong khoảng thời gian 5,25s tính từ thời điểm con lắc bắt đầu dao động, con lắc có độ lớn vận tốc bằng 1/2 vận tốc cực đại của nó 20 lần.