Ôn tập chương 1 Hệ thức lượng trong tam giác vuông

Tóm tắt lý thuyết

Kiến thức cần nhớ

1. Các hệ thức về cạnh và đường cao của tam giác vuông

Cho tam giác ABC vuông tại A có đường cao AH. Đặt \(AB=c, BC=a, AC=b, AH=h, HC=b’, HB=c’\). Ta có:

\(b^2=a.b’\)

\(c^2=a.c’\)

\(h^2=b’.c’\)

\(b.c=a.h\)

\(\frac{1}{h^2}=\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2}\) hay \(h=\frac{b.c}{\sqrt{b^2+c^2}}\)

2. Định nghĩa tỉ số lượng giác của góc nhọn

Các lưu ý:

\(tan\alpha =\frac{sin\alpha }{cos\alpha }; cotg\alpha =\frac{cos\alpha }{sin\alpha }\)

\(tan\alpha .cotg\alpha =1 , sin^2\alpha +cos^2\alpha =1\)

\(1+tan^2\alpha =\frac{1}{cos^2\alpha }; 1+cot^2\alpha =\frac{1}{sin^2\alpha }\)

 

Bài tập minh họa





Bài tập trọng tâm

Bài 1:  Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH. Biết AB:AC = 2,4 và \(AH=\frac{60}{13}\). Tính chu vi tam giác ABC

Hướng dẫn: Ta có:

\(\frac{AB}{AC}=\frac{12}{5}\Leftrightarrow 5AB=12AC\)

\(BC=\sqrt{AB^2+AC^2}=\sqrt{AB^2+\frac{25AB^2}{144}}=\frac{13AB}{12}\)

Ta có: \(AB.AC=BC.AH\Leftrightarrow AB.\frac{5AB}{12}=\frac{13AB}{12}.\frac{60}{13}\)

\(\Leftrightarrow AB^2=12AB^2\)

Mà \(AB>0\Rightarrow AB=12\Rightarrow AC=5\Rightarrow BC=13\)

Vậy chu vi của hình tam giác là \(AB+AC+BC=5+12+13=30(dvdd)\)

Bài 2: Cho tam giác ABC vuông tại A có tỉ số cạnh \(\frac{AC}{AB}=\sqrt{3}\). Tính cạnh BC theo AB và các góc của tam giác ABC

Hướng dẫn:

Đặt \(AB=x\)

\(\Rightarrow AC=x\sqrt{3}\)

Theo định lí Pytago, ta suy ra được \(BC=\sqrt{AB^2+AC^2}=\sqrt{x^2+3x^2}=2x\)

Ta có: \(cosABC=\frac{AB}{BC}=\frac{x}{2x}=\frac{1}{2}\)

Vậy \(\widehat{ABC}=60^{\circ}\)

\(\Rightarrow \widehat{ACB}=30^{\circ}\), \(\widehat{BAC}=90^{\circ}\)

Bài 3: Cho tam giác ABC vuông tại A. Biết AC=9, BC=11. Giá trị của sinB và cosB lần lượt là

Hướng dẫn: Ta có: \(AB=\sqrt{BC^2-AC^2}=\sqrt{11^2-9^2}=2\sqrt{10}\)

\(sinB=\frac{AC}{BC}=\frac{9}{11}\)

\(cosB=\frac{AB}{BC}=\frac{2\sqrt{10}}{11}\)

Bài 4: Cho tam giác ABC vuông tại A có  \(BC=10 ,\widehat{C}=30^{\circ}\). \(S_{\Delta ABC}\) có giá trị là:

Hướng dẫn: 

Ta có: \(cosC=\frac{AC}{BC}\Leftrightarrow cos30^{\circ}=\frac{AC}{10}\)

\(\Rightarrow AC=5\sqrt{3}\)

\(sinC=\frac{AB}{BC}\Leftrightarrow sin30^{\circ}=\frac{AB}{10}\)

\(\Rightarrow AB=5\)

\(\Rightarrow S_{\Delta ABC}=\frac{1}{2}AB.AC=\frac{1}{2}.5.5\sqrt{3}=\frac{25\sqrt{3}}{2}(dvdt)\)