Bài 7: Vị trí tương đối của hai đường tròn

Tóm tắt lý thuyết

1.1. Ba vị trí tương đối của đường tròn

– Hai đường tròn có hai điểm chung (h.85) được gọi là hai đường tròn cắt nhau. Hai điểmc chung đó gọi là hai giao điểm. Đoạn thẳng nối hai điểm đó gọi là dây cung

– Hai đường tròn chỉ có một điểm chung (h.86) được gọi là hai đường tròn tiếp xúc nhau. Điểm chung đó gọi là tiếp điểm

– Hai đường tròn không có điểm chung (h.87) được gọi là hai đường tròn không giao nhau

1.2. Tính chất đường nối tâm

Cho hai đường tròn (O) và (O’) có tâm không trùng nhau. Đường thẳng OO’ gọi là đường nói tâm, đoạn thẳng OO’ gọi là đoạn nối tâm.

Do đường kính là trục đối xứng của mỗi đường tròn nên đường nối tâm là trục đối xứng của hình gồm cả hai đường tròn đó

* Định lí:

a) Nếu hai đường tròn cắt nhau thì hai giao điểm đối xứng với nhau qua đường nối tâm, tức là đường nối tâm là đường trung trực của dây chung

b) Nếu hai đường tròn tiếp xúc nhau thì tiếp điểm nằm trên đường nối tâm

1.3. Hệ thức giữa đoạn nối tâm và các bán kính

a) Hai đường tròn cắt nhau

Nếu hai đường tròn (O) và (O’) cắt nhau thì R – r < OO’ < R + r

b) Hai đường tròn tiếp xúc nhau

– Nếu hai đường tròn (O) và (O’) tiếp xúc ngoài thì OO’ = R + r

– Nếu hai đường tròn (O) và (O’) tiếp xúc trong thì OO’ = R – r

c) Hai đường tròn không giao nhau

 

– Nếu hai đường tròn (O) và (O’) ở ngoài nhau thì OO’ > R + r

– Nếu hai đường tròn (O) đựng đường tròn (O’) thì OO’ > R – r

Ta có bảng sau:

1.4. Tiếp tuyến chung của hai đường tròn

– Tiếp tuyến chung của hai đường tròn là đường thẳng tiếp xúc với cả hai đường tròn đó

Bài tập minh họa





2.1. Bài tập cơ bản

Bài 1: Cho 2 đường tròn (O;20) và (O’;15) cắt nhau tại A và B. Tính đoạn nối tâm OO’ biết rằng AB=24d

Hướng dẫn: Ta có hai trường hợp sau xảy ra:

Gọi C là giao điểm của đường thẳng OO’ với AB

TH1: O và O’ khác phía với AB khi đó: \(OO’=OC+CO’\)

\(OC=\sqrt{OB^2-BC^2}\sqrt{20^2-12^2}=16\); \(CO’=\sqrt{O’B^2-BC^2}\sqrt{15^2-12^2}=9\)

\(\Rightarrow OO’=9+16=25\)

TH2: O và O’ nằm cùng phía với AB khi đó: \(OO’=OC-CO’\)

\(OO’=16-9=7\)

Bài 2: Cho 2 đường tròn đồng tâm O, dây AB của đường tròn lớn cắt đường tròn nhỏ ở C và D chúng minh AC=BD.

Hướng dẫn: 

Gọi E là trung điểm của CD suy ra OE vuông góc với CD hây OE vuông với AB nên E cũng là trung điểm của AB

mà AC=AE-EC; BD=BE-DE. Vậy ta luôn có AC=BD

Bài 3: Cho đường tròn tâm O bán kính OA và đường tròn đường kính OA.

a) Xác định vị trí tương đối của hai đường tròn

b) Dây AD của đường tròn lớn cắt đường tròn nhỏ ở C. CMR: AC=CD

Hướng dẫn:

a) Hai đường tròn tâm O bán kính OA và đường tròn đường kính OA tiếp xúc trong với nhau

b) Tam giác AOC có IA=IO=IC nên tam giác đó vuông tại C hay OC vuông góc AD tại C

Vì vậy C là trung điểm của AD nên AC=CD

2.2. Bài tập nâng cao

Bài 1: Cho 2 đường tròn (O;R) và (O;r) cắt nhau tại hai điểm A và B. Vẽ đường kính AOC và AO’D

a) Chứng minh 3 điểm C, B, D thẳng hàng

b) Qua A vẽ cát tuyến cắt (O) và (O’) lần lượt tại M, N. CMR: \(MN\leq CD\)

Hướng dẫn: 

a) Tam giác ABC có AC là đường kính nên tam giác ABC vuông tại B hay \(AB\perp CB\)

Tam giác ABD có AD là đường kính nên tam giác ABD vuông tại B hay \(AB\perp BD\)

\(\Rightarrow C,B,D\) cùng thuộc đường thẳng qua B và vuông góc với AB

b) Xét tam giác ACD có OO’ là đường trung bình nên: \(OO’=\frac{1}{2}.CD\)

Gọi E, F lần lượt là hình chiếu vuông góc của O và O’ lên MN. Khi đó E, F lần lượt là trung điểm AM và AN

suy ra \(EF=\frac{1}{2}.MN\). Ta đưa việc so sánh CD với MN qua so sánh OO’ và EF

Xét 2 đoạn thẳng OE và O’F song song với nhau. EF vuông góc với cả hai đoạn thẳng nên EF là đoạn thẳng nhỏ nhất trong các đoạn nối từ 1 điểm trên OE tới 1 điểm trên O’F

\(EF\leq OO’\Rightarrow MN\leq CD\)

Bài 2: Cho tam giác ACB vuông tại A (AB

b)CMR: \(EF^2= OB.O’C\)

Hướng dẫn:

a) Ta có \(OE\perp AB, ME\perp AB\Rightarrow\) M, E, O thẳng hàng. Tương tự M, F, O’ thẳng hàng.

Dễ dàng chứng minh được MA là tiếp tuyến của (O) và (O’) \(\Rightarrow MA\perp OA,MA\perp O’A\Rightarrow\) O, A, O’ thẳng hàng

mà A cùng thuộc 2 đường tròn (O) và (O’) nên (O) và (O’) tiếp xúc nhau

b) Xét tứ giác AEMF có 3 góc vuông nên AEMF là hình chữ nhật \(\Rightarrow \widehat{EMF}=90^{\circ}, AM=EF\)

Xét tam giác OMO’ có MA là đường cao nên: \(OA.AO’=AM^2\) mà \(OA=OB, AO’=O’C\)

\(\Rightarrow OB.O’C=EF^2\)