Bài 6: Hệ thức Vi-ét và ứng dụng

Tóm tắt lý thuyết

1.1. Hệ thức Vi-ét

Nhắc lại bài cũ về phương trình bậc hai \(ax^2+bx+c=0(a\neq 0)\) có 2 nghiệm phân biệt

\(x_1=\frac{-b+\sqrt{\Delta }}{2a}; x_2=\frac{-b-\sqrt{\Delta }}{2a}\)

Ta có: \(x_1+x_2=\frac{-2b+\sqrt{\Delta }-\sqrt{\Delta }}{2a}=-\frac{b}{a}\)

\(x_1.x_2=\frac{b^2-\Delta }{4a^2}=\frac{4ac}{4a^2}=\frac{c}{a}\)

Định lý Vi-ét

Nếu \(x_1;x_2\) là hai nghiệm của phương trình \(ax^2+bx+c=0 (a\neq 0)\) thì:

\(x_1+x_2=-\frac{b}{a}\)

và \(x_1.x_2=\frac{c}{a}\)

Tổng quát

Nếu phương trình \(ax^2+bx+c=0 (a\neq 0)\) có \(a+b+c=0\) thì phương trình có một nghiệm là \(x_1=1\) và nghiệm kia là \(x_2=\frac{c}{a}\).

Nếu phương trình \(ax^2+bx+c=0 (a\neq 0)\) có \(a-b+c=0\) thì phương trình có một nghiệm là \(x_1=-1\) và nghiệm kia là \(x_2=-\frac{c}{a}\).

1.2. Tìm hai số khi biết tổng và tích của chúng

Tìm 2 số khi biết tổng của chúng là S và tích của chúng là P. Giả sử 1 số là x thì số còn lại là \(S-x\)

Vì thế, tích của chúng được viết lại là: \(x(S-x)=P\Leftrightarrow x^2-Sx+P=0\)

Đặt \(\Delta =S^2-4P\)

 

Bài tập minh họa





2.1. Bài tập cơ bản

Bài 1: Tìm tổng và tích của các nghiệm phương trình sau: \(x^2-8x+11=0\)

Hướng dẫn: Đầu tiên ta tính \(\Delta’ =(-4)^2-1.11=5>0\)

Ta có: \(S=x_1+x_2=\frac{-b}{a}=-\frac{-8}{1}=8\)

\(P=x_1.x_2=\frac{c}{a}=\frac{11}{1}=11\)

Bài 2: Tìm tổng và tích của các nghiệm phương trình sau:\(2x^2-8x-29=0\)

Hướng dẫn:

Với bài toán này, ta nhận thấy hệ số a và c trái dấu, như đã học ở bài trước, pt này chắc chắn có 2 nghiệm phân biệt.

Vậy: \(S=x_1+x_2=\frac{-b}{a}=-\frac{-8}{2}=4\)

\(P=x_1.x_2=\frac{c}{a}=\frac{29}{2}\)

Bài 3:Tìm tổng và tích của các nghiệm phương trình sau: \(x^2+10x+25\)

Hướng dẫn: Đầu tiên ta tính \(\Delta’ =(-5)^2-1.25=0\)

Vậy \(S=x_1+x_2=\frac{-b}{a}=-\frac{10}{1}=-10\)

\(P=x_1.x_2=\frac{c}{a}=\frac{25}{1}=25\)

2.2. Bài tập nâng cao

Bài 1: Tìm hai số biết tổng của chúng là 5 và tích của chúng là 6

Hướng dẫn: Gọi hai số đó là \(x_1\) và \(x_2\)\(\Rightarrow x_1+x_2=5; x_1.x_2=6\)

Lại có \(S^2=25>4P=24\)

Vậy 2 số cần tìm là nghiệm của phương trình \(x^2-Sx+P=0\) hay \(x^2-5x+6=0\)

\(\Rightarrow x_1=3, x_2=2\) hoặc \(\Rightarrow x_1=2, x_2=3\)

Bài 2: Tìm hai số biết hiệu của chúng là 11 và tích của chúng là 60

Hướng dẫn: Gọi hai số cần tim là a, b

Ta có \(\left\{\begin{matrix} a-b=11\\ ab=60 \end{matrix}\right.\)

Thế \(a=11+b\) vào phương trình tích, ta được \(b(b+11)=60\Leftrightarrow b^2+11b-60=0\)

\(\Rightarrow b=-15\) hoặc \(b=4\)

\(b=-15\Rightarrow a=-4\)

\(b=4\Rightarrow a=15\)