Bài 5: Công thức nghiệm thu gọn

Tóm tắt lý thuyết

1.1. Công thức nghiệm thu gọn

Đối với phương trình bậc hai \(ax^2+bx+c=0(a\neq 0)\), trong nhiều trường hợp nếu đặt \(b=2b’ (b\vdots 2)\) thì liệu việc tính toán có đơn giản hơn?

\(b=2b’ \Rightarrow \Delta =(2b’)^2-4ac=4b’^2-4ac=4(b’^2-ac)\)

Ta có: \(\Delta ‘=b’^2-ac\)

Từ đó, ta đi đến các kết luận sau đây:

Với các phương trình bậc hai \(ax^2+bx+c=0(a\neq 0)\) và \(b=2b’\), \(\Delta ‘=b’^2-ac\) thì:

Nếu \(\Delta ‘>0\) thì phương trình có hai nghiệm phân biệt

\(x_{1}=\frac{-b’+\sqrt{\Delta ‘}}{a}; x_{2}=\frac{-b’-\sqrt{\Delta ‘}}{a}\)

Nếu \(\Delta ‘=0\) thì phương trình có nghiệm kép \(x=\frac{-b’}{a}\)

Nếu \(\Delta ‘<0\) thì phương trình vô nghiệm.

1.2. Áp dụng

Chúng ta sẽ cùng đi vài ví dụ sau:

Ví dụ 1:

Giải phương trình bằng công thức nghiệm thu gọn: \(3x^2+10x+5=0\)

Giải: \(\Delta ‘=5^2-5.3=10>0\Rightarrow \sqrt{\Delta ‘}=\sqrt{10}\)

Vậy \(x_{1}=\frac{-5+\sqrt{10}}{3}; x_{2}=\frac{-5-\sqrt{10}}{3}\)

Ví dụ 2:

Giải phương trình bằng công thức nghiệm thu gọn: \(5x^2-6\sqrt{2}x+1=0\)

Giải: \(\Delta ‘=(3\sqrt{2})^2-5.1=13>0\Rightarrow \sqrt{\Delta ‘}=13\)

Vậy \(x_{1}=\frac{3\sqrt{2}+\sqrt{13}}{5}; x_{2}=\frac{3\sqrt{2}-\sqrt{13}}{5}\)

Bài tập minh họa





2.1. Bài tập cơ bản

Bài 1: Giải phương trình bằng công thức rút gọn sau:

\(x^2+6x-11=0\) ; \(x^2-4\sqrt{2}x-7=0\)

Hướng dẫn: \(x^2+6x-11=0\)

\(\Delta ‘=3^2-1.(-11)=20>0\Rightarrow \sqrt{\Delta ‘}=2\sqrt{5}\)

\(x_{1}=-3+2\sqrt{5}; x_{2}=-3-2\sqrt{5}\)

Tương tự đối với phương trình: \(x^2-4\sqrt{2}x-7=0\)

\(\Delta ‘=(-2\sqrt{2})^2-1.(-7)=15>0\Rightarrow \sqrt{\Delta ‘}=\sqrt{15}\)

\(x_{1}=2\sqrt{2}+\sqrt{15}; x_{2}=2\sqrt{2}-\sqrt{15}\)

Bài 2: Giải phương trình bằng công thức thu gọn sau:

\(3x^2+18x+29=0\) ; \(x^2-16x+64=0\)

Hướng dẫn: \(3x^2+18x+29=0\)

\(\Delta ‘=9^2-29.3=81-87=-6<0\)

Vậy phương trình trên vô nghiệm.

\(x^2-16x+64=0\)

\(\Delta ‘=(-8)^2-64.1=0\)

Vậy phương trình có nghiệm kép \(x=-\frac{-8}{1}=8\)

Bài 3: Không giải phương trình, hãy xác định xem phương trình có bao nhiêu nghiệm?

\(x^2+6x-11=0\) ; \(x^2+7x+18=0\)

Hướng dẫn: \(x^2+6x-11=0\)

Ta nhận thấy rằng hệ số a và c trái dấu nhau nên “theo bài trước”, ta có phương trình trên luôn có 2 nghiệm phân biệt.

\(x^2+7x+18=0\)

\(\Delta =7^2-4.18.1=49-72=-23<0\)

Vậy phương trình trên vô nghiệm.

2.2. Bài tập nâng cao

Bài 1: Tìm giá trị của tham số m để phương trình \(x^2+2mx-m+4=0\) có nghiệm.

Hướng dẫn: Ta tính biệt thức \(\Delta ‘\) của phương trình trên:

\(\Delta ‘=m^2-m+4\)

Để phương trình trên có nghiệm thì \(\Delta ‘\geq 0\Leftrightarrow m^2-m+4=m^2-2.\frac{1}{2}m+\frac{1}{4}+3,75> 0\forall m\epsilon \mathbb{R}\)

Vậy, phương trình trên luôn có 2 nghiệm phân biệt.

Bài 2: Tìm giá trị của tham số m để phương trình \(x^{2}-mx+m-1=0\) có đúng 1 nghiệm duy nhất

Hướng dẫn: Ta tính biệt thức \(\Delta\) của phương trình trên:

\(\Delta =(-m)^2-4m+4=m^2-4m+4=(m-2)^2\)

Để phương trình có nghiệm duy nhất \(\Leftrightarrow \Delta =0\Leftrightarrow m=2\)

Vậy với \(m=2\) thì phương trình trên có nghiệm duy nhất.