Bài 3: Phương trình bậc hai một ẩn

Tóm tắt lý thuyết

1.1. Định nghĩa

Phương trình bậc hai một ẩn (gọi tắt là phương trình bậc hai) là phương trình có dạng \(ax^2+bx+c=0\)

Trong đó, x là ẩn; các hệ số a, b, c là các số cho trước và  \(a\neq 0\)

1.2. Một số ví dụ về giải phương trình bậc hai

Ví dụ 1:

Giải phương trình: \(x^2+5x=0\)

Giải: Ta có: \(x^2+5x=0\Leftrightarrow x(x+5)=0\)\(\Leftrightarrow x=0\) hoặc \(x=-5\)

Vậy phương trình có hai nghiệm \(x_{1}=0; x{_{2}}=-5\)

Ví dụ 2:

Giải phương trình: \(x^2-81=0\)

Giải: \(x^2-81=0\Leftrightarrow x^2=81\Leftrightarrow x=\pm 9\)

Vậy phương trình có hai nghiệm: \(x_{1}=9; x{_{2}}=-9\)

Ví dụ 3:

Giải phương trình: \(x^2-6x-7=0\)

Giải: \(x^2-6x-7=0\Leftrightarrow x^2-6x+9=16\Leftrightarrow (x-3)^2=4^2\)

\(\Leftrightarrow x-3=4\) hoặc \(\Leftrightarrow x-3=-4\)

Vậy \(x=7\) hoặc \(x=-1\)

Bài tập minh họa





2.1. Bài tập cơ bản

Bài 1: Đưa các phương trình sau về dạng \(ax^2+bx+c=0\) rồi chỉ rõ các hệ số a, b, c của phương trình ấy.

\(5x^2-3x=10x+100\);  \(x^2=900\)

Hướng dẫn: \(5x^2-3x=10x+100\)\(\Leftrightarrow 5x^2-13x-100=0\)

Hệ số: \(a=5; b=-13; c=-100\)

\(x^2=900\)\(\Leftrightarrow x^2-900=0\)

Hệ số: \(a=1; b=0; c=-900\)

Bài 2: Giải các phương trình sau:

\(x^2-16=0; 4x^2+90=0\)

Hướng dẫn: \(x^2-16=0\Leftrightarrow x^2=16\Leftrightarrow x=\pm 4\)

\(4x^2+90=0\Leftrightarrow x^2=\frac{-90}{4}\) (ptvn)

Bài 3: Giải phương trình bậc hai bằng cách thêm bớt một cách thích hợp

\(x^2+6x=-8\) ; \(x^2+x=7\)

Hướng dẫn: \(x^2+6x=-8\Leftrightarrow (x^2+6x+9)=1\Leftrightarrow (x+3)^2=1\)

\(\Rightarrow x=-2\) hoặc \(\Rightarrow x=-4\)

\(x^2+x=7\Leftrightarrow x^2+2.\frac{1}{2}x+\frac{1}{4}=\frac{29}{4}\)

\(\Leftrightarrow \left ( x+\frac{1}{2} \right )^2=\left ( \frac{\sqrt{29}}{2} \right )^2\)\(\Rightarrow x=\frac{-1\pm \sqrt{29}}{2}\)

2.2. Bài tập nâng cao

Bài 1: Giải phương trình bằng cách phân tích đa thức thành nhân tử: \(x^2-7x+12=0\)

Hướng dẫn:\(x^2-7x+12=0\)

\(x^2-7x+12=0\Leftrightarrow x^2-3x-4x+12=0\Leftrightarrow x(x-3)-4(x-3)=0\)

\(\Leftrightarrow (x-4)(x-3)=0\)

Vậy \(x=4\) hoặc \(x=3\)

Bài 2: Giải phương trình \(\sqrt{x^2+6x+11}=\sqrt{2}\)

Hướng dẫn: Ta có: \(x^2+6x+11=(x+3)^2+2\)

Mà \((x+3)^2\geq 0\forall x\Leftrightarrow (x+3)^2+2\geq 2\forall x\)

\(\Rightarrow \sqrt{x^2+6x+11}\geq \sqrt{2}\)

Đẳng thức xảy ra khi \((x+3)^2=0\Leftrightarrow x=-3\)