Bài 2: Liên hệ giữa cung và dây

Tóm tắt lý thuyết

1.1. Định lí 1

Với hai cung nhỏ trong cùng một đường tròn hay hai đường tròn bằng nhau:

a) Hai cung bằng nhau căng hai dây bằng nhau

b) Hai dây bằng nhau căng hai cung bằng nhau

– \(\stackrel\frown{AB}=\stackrel\frown{CD}\Rightarrow AB=CD\)

– \(AB=CD\Rightarrow\stackrel\frown{AB}=\stackrel\frown{CD}\)

1.2. Định lí 2

Với hai cung nhỏ trong cùng một đường tròn hay hai đường tròn bằng nhau:

a) Cung lớn hơn căng dây lớn hơn

b) Dây lớn hơn căng cung lớn hơn

– \(\stackrel\frown{AB}>\stackrel\frown{CD}\Rightarrow AB>CD\)

– \(AB>CD\Rightarrow\stackrel\frown{AB}>\stackrel\frown{CD}\)

Bài tập minh họa





2.1. Bài tập cơ bản

Bài 1: Cho đường tròn \((O;R)\) với \(R=4cm\). \(A\) và \(B\) là hai điểm trên đường tròn sao cho sđ\(\stackrel\frown{AB}=90^0\). Tính \(AB\)

Hướng dẫn: Theo đề bài, ta có \(\widehat{AOB}=\)sđ\(\stackrel\frown{AB}\)\(=90^0\). Áp dụng định lí Pytago cho \(\bigtriangleup AOB\) vuông tại \(O\), ta có \(AB=\sqrt{AO^2+BO^2}=\sqrt{4^2+4^2}=4\sqrt{2}\)

Bài 2: Cho đường tròn \((O)\) đường kính \(BC\). Điểm \(A\)  trên đường tròn sao cho \(\widehat{ABC}=70^0\). So sánh \(AB\) và \(AC\)

 

Hướng dẫn: \(\bigtriangleup ABC\) vuông tại \(A\) có \(\widehat{ABC}=70^0\) nên \(\widehat{ACB}=90^0-70^0=20^0\), suy ra \(\stackrel\frown{AB}>\stackrel\frown{AC}\Rightarrow AC>AB\)

Bài 3: Dựa vào hình vẽ sau, hãy so sánh \(AB\) và \(CD\)

Hướng dẫn: 

Ta có:

\(\widehat{DOC}=90^0+60^0=150^0\)

\(\widehat{AOB}=180^0-\widehat{AOC}=180^0-60^0=120^0\)

Do đó \(\widehat{DOC}>\widehat{AOB}\Rightarrow\stackrel\frown{CD}>\stackrel\frown{AB}\Rightarrow CD>AB\)  

2.2. Bài tập nâng cao.

Bài 1: Cho đường tròn \((O)\) và hai dây \(\stackrel\frown{AB},\stackrel\frown{CD}\) của đường tròn. Gọi \(H,K\) là lần lượt là chân các đường vuông góc hạ từ \(O\) đến \(AB,CD\).

Chứng minh rằng \(\stackrel\frown{AB}>\stackrel\frown{CD}\Leftrightarrow OH

 

Hướng dẫn: Ta thấy \(\bigtriangleup OAB\) cân tại \(O\) và \(\bigtriangleup OCD\) cân tại \(O\) nên \(H,K\) lần lượt là trung điểm của \(AB,CD\).

Lúc đó: \(\dpi{100} \stackrel\frown{AB}>\stackrel\frown{CD}\Leftrightarrow AB>CD\Leftrightarrow OH

Bài 2: Cho \((O)\) có dây cung \(BC\) cố định. Gọi \(A\) là điểm thuộc cung lớn \(BC\) sao cho \(\widehat{ABC}>\widehat{ACB}\). Chứng minh rằng khoảng cách từ \(O\) đến \(AB\) lớn hơn khoảng cách từ \(O\) đến \(AC\)

Hướng dẫn: Gọi \(P,Q\) lần lượt là chân đường cao hạ từ \(O\) đến \(AB,AC\). Ta sẽ chứng minh \(OP>OQ\).

\(\bigtriangleup ABC\) có \(\widehat{ABC}>\widehat{ACB}\) nên \(ABOQ\)