Bài 9: Hình chữ nhật

Tóm tắt lý thuyết

1.1 Định nghĩa

Hình chữ nhật là tứ giác có bốn góc vuông. Từ định nghĩa này, ta suy ra:

– Hình chữ nhật là hình thang cân có một góc vuông.

– Hình chữ nhật là hình bình hành có một góc vuông.

1.2 Tính chất

Vì hình chữ nhật là hình thang cân và cũng là hình bình hành nên nó có các tính chất của hình thang cân và các tính chất của hình bình hành, đặc biệt là:

Trong một hình chữ nhật, hai đường chéo bằng nhau và cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường.

Ngược lại, một tứ giác có hai đường chéo bằng nhau và cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường thì tứ giác đó là hình chữ nhật.

1.3 Tâm đối xứng – Trục đối xứng của hình chữ nhật

– Hình chữ nhật có một tâm đối xứng là giao điểm của hai đường chéo.

– Hình chữ nhật có hai trục đối xứng là hai đường thẳng \({d_1},{d_2}\) đi qua các trung điểm của hai cạnh đối diện.

Các trục đối xứng của hình chữ nhật đi qua tâm đối xứng, vuông góc với các cạnh, và vuông góc với nhau.

1.4 Chứng minh một tứ giác là hình chữ nhật

Để chứng minh một tứ giác là hình chữ nhật, ta có thể chứng minh nó có một trong bốn tính chất sau:

* Có ba góc vuông

* Là hình thang cân có một góc vuông

* Là hình bình hành có một góc vuông

* Có hai đường chéo bằng nhau và cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường, hoặc là hình bình hành có hai đường chéo bằng nhau.

Chú ý:

1. Từ tính chất của hình chữ nhật, ta suy ra một tính chất quan trọng của tam giác vuông, được phát biểu trong định lí sau:

Định lí:

– Trong một tam giác vuông, đường trung tuyến thuộc cạnh huyền thì bằng một nửa cạnh huyền

– Ngược lại, trong một tam giác, nếu đường trung tuyến xuất phát từ một đỉnh bằng một nửa cạnh đối diện thì tam giác đó là tam giác vuông.

Định lí này thường được sử dụng để chứng minh các đoạn thẳng bằng nhau và phần ngược lại được sử dụng để chứng minh một tam giác vuông.

2. Từ tính chất của hình chữ nhật, ta cũng có một kết quả quan trọng khác là:

“Những điểm cách một đường thẳng cho trước a một khoảng không đổi h nằm trên hai đường thẳng song song với a và cách a một khoảng bằng h”.

5. Đường thẳng song song cách đều

Định lí:

– Nếu các đường thẳng song song cách đều cắt một đường thẳng thì nếu chúng chắn trên đường thẳng đó các đoạn thẳng liên tiếp bằng nhau.

– Nếu các đường thẳng song song cắt một đường thẳng và chúng chắn trên đường thẳng đó các đoạn thẳng liên tiếp bằng nhau thì chúng song song cách đều.


Ví dụ 1: Cho tam giác nhọn ABC, trực tâm H và giao điểm của các đường trung trực là điểm O. Gọi P, Q, N theo thứ tự là trung điểm của các đoạn thẳng AB, AH, AC.

1. Chứng minh tứ giác OPQN là hình bình hành.

2. Tam giác ABC phải có điều kiện gì để tứ giác OPQN là hình chữ nhật?

Giải

1. O là giao điểm của các đường trung trực nên:

\(OP \bot AB;\,\,\,\,ON \bot AC\)

Trong \(\Delta AHC,\) QN là đường trung bình nên QN//HC.

Mà \(HC \bot AB\) nên \(QN \bot AB.\)

Vậy OP // QN  (1)

Chứng minh tương tự, ta có

ON // PQ (2)

(1) và (2) suy ra đpcm

2. Để OPQN là hình chữ nhật thì

\(PQ \bot QN \Rightarrow HB \bot HC.\)

Rõ ràng trong trường hợp này điểm H phải trùng với điểm A, tức là tam giác ABC vuông tại đỉnh A.


Ví dụ 2: Cho tam giác ABC, đỉnh A; kẻ phân giác AD. Qua D dựng đường thẳng song song với AB, đường này cắt cạnh AC tại điểm E. Qua E ta kẻ đường  thẳng song song với BC, đường thẳng song song với BC, đường này cắt AB tại điểm F.

1. Chứng minh AE = BF

2. Xác định hình dạng của tam giác ABC trong trường hợp điểm E là trung điểm của cạnh AC.

Giải

1. Tứ giác BDEF là hình bình hành cho ta

BF = ED   (1)

\(DE = AB \Rightarrow \widehat {{D_1}} = \widehat {{A_1}}\)

Giả thiết cho \(\widehat {{A_2}} = \widehat {{A_1}}\)

Vậy \(\widehat {{D_1}} = \widehat {{A_2}} \Rightarrow \Delta AED\)cân

Suy ra AE = ED (2)

Từ (1) và (2) suy ra đpcm

2. Khi E là trung điểm AC thì \(DE = \frac{1}{2}AC\)

\( \Rightarrow \Delta ADC\) vuông tại D hay AD là đường cao của \(\Delta ABC.\) Giả thiết cho AD là phân giác góc A. Vậy \(\Delta ABC\) cân tại A.


Ví dụ 3: Cho hình chữ nhật ABCD. Từ đỉnh B kẻ BH vuông góc với đường chéo AC (H thuộc AC). Gọi M, N, P, Q theo thứ tự là trung điểm của các đoạn thẳng AH, AB, NC và DC.

1. Chứng minh \(MP = \frac{1}{2}NC.\)

2. Chứng minh \(BM \bot MQ\)

Giải

1. Trong \(\Delta ABH\), MN là đường trung bình: MN // BH

\( \Rightarrow \Delta NMC\) vuông đỉnh M, MP là trung tuyến thuộc cạnh huyền NC nên

\(MP = \frac{1}{2}NC\)

2. Tứ giác BNQC là hình chữ nhật; P là giao điểm của hai đường chéo; NC = BQ

Suy ra \(MP = \frac{1}{2}BQ\)

Tam giác BMQ có trung tuyến MP bằng nửa cạnh tương ứng BQ. Vậy nó là tam giác vuông tại đỉnh M, suy ra \(BM \bot MQ.\)

Bài tập minh họa


Bài 1: Cho tam giác ABC. Từ đỉnh A, ta kẻ các đường AP, AQ theo thứ tự vuông góc với các tia phân giác ngoài của góc B; các đường thẳng  AR, AS theo thứ tự vuông góc với các tia phân giác trong và phân giác ngoài của góc C. Chứng minh:

1. Các tứ giác APBQ, ARCS là các hình chữ nhật.

2. Bốn điểm Q, R, P, S thẳng hàng.

3. \(QS = \frac{1}{2}(AB + BC + CA).\)

4. Tam giác ABC phải thoả mãn điều kiện gì để APBQ là hình vuông? Từ đó suy ra rằng không thể có trường hợp cả hai tứ giác APBQ và ARCS đều là hình vuông.

Giải

1. BP là phân giác trong, BP là phân giác ngoài của góc tại đỉnh B, nên

\(BP \bot BQ \Rightarrow \widehat {QBP} = {90^0}\)

Tứ giác APBQ có bốn góc vuông nên nó là hình chữ nhật.

Với tứ giác ARCS cũng lí luận tương tự.

2. Gọi M là giao điểm của AB và QP. Tứ giá APBQ là hình chữ nhật, suy ra M là trung điểm của AB.

Ta cũng có: \(\widehat {{P_1}} = \widehat {{B_2}}\) mà \(\widehat {{B_2}} = \widehat {{B_1}}\)

\( \Rightarrow \widehat {{P_1}} = \widehat {{B_1}} \Rightarrow MP//BC.\)

QP đi qua trung điểm M của AB và QP // BC, suy ra hai điểm P, Q nằm trên đường trung bình ứng với cạnh BC.

Lí luận tương tự, ta cũng có hai điểm R, S cũng nằm trên đường trung bình ứng với cạnh BC.

3. Trong tam giác vuông AQB thì

\(QM = \frac{1}{2}AB.\)

Tương tự, \(NS = \frac{1}{2}AC\)

Mặt khác \(MN = \frac{1}{2}BC\)

\( \Rightarrow QS = QM + MN + NS = \frac{1}{2}(AB + BC + CA)\)

4. Để APBQ là hình vuông thì \(AB \bot QP\) mà QP // BC nên \(AB \bot BC \Rightarrow \Delta ABC\) vuông đỉnh B.

Để ARCS là hình vuông thì \(AC \bot RS\) mà RS // BC nên  \(AC \bot BC \Rightarrow \Delta ABC\) vuông đỉnh C.

Vì \(\Delta ABC\) không thể vừa vuông tại C nên không thể xảy ra trường hợp cả hai tứ giác APBQ và ARCS đều là hình vuông.


Bài 2: Cho tam giác ABC cân, đỉnh A. Từ một điểm D trên đáy BC ta kẻ đường vuông góc với BC, đường này cắt AB ở E và cắt AC ở điểm F. Vẽ các hình chữ nhật BDEH và CDFK. Gọi I, J theo thứ tự là tâm của các hình chữ nhật BDEH và CDFK và M là trung điểm của đoạn thẳng AD.

1. Chứng minh rằng trung điểm của đoạn thẳng HK là một điểm cố định, không phụ thuộc vào vị trí của điểm D trên cạnh BC.

2. Chứng minh ba điểm I, M, J thẳng hàng và ba đường thẳng AD, HJ, KI đồng quy.

3.  Khi điểm D di chuyển trên cạnh BC thì điểm M di chuyển trên đoạn thẳng nào?

Giải

1. Ta có: \(\widehat {{B_1}} = \widehat {{D_1}}\) mà \(\widehat {{B_1}} = \widehat {{C_1}} \Rightarrow \widehat {{D_1}} = \widehat {{C_1}}\)

\( \Rightarrow ID//AC\) (1)

Ta cũng có \(\widehat {{D_2}} = \widehat {{C_1}}\) mà \(\widehat {{C_1}} = \widehat {{B_1}} \Rightarrow \widehat {{D_2}} = \widehat {{B_1}}\)

\( \Rightarrow JD//AB\) (2)

Từ (1) và (2) suy ra AIDJ là hình bình hành, cho ta:

AJ // ID và AJ = ID

Suy ra AJ // HI và AJ = HI

\( \Rightarrow \) AHIJ là hình bình hành, cho ta:

IJ // AH và IJ = AK (1)

Tương tự, ta có:

IJ // AK và IJ = AK (2)

Từ (1) và (2), dựa vào tiên đề Ơclit, suy ra ba điểm H, A, K thẳng hàng và AH = AK hay A là trung điểm của HK.

2. Tứ giác AIDJ là hình bình hành nên trung điểm M của AD phải nằm trên IJ.

Trong tam giác DHK thì DA, KI và HJ là các trung tuyến nên chúng đồng quy.

3. Khi D thay đổi trên BC thì HK luôn đi qua điểm cố định A và M di chuyển trên đường trung bình ứng với cạnh BC của tam giác ABC.


Bài 3: Cho tam giác ABC, kẻ đường cao BE, CD và gọi H là trực tâm của tam giác. M, N, K theo thứ tự là trung điểm của các đoạn thẳng BC, AH và DE.

1. Chứng minh rằng ba điểm M, N, K thẳng hàng

2. Dựa vào kết quả trên suy ra rằng nếu ta gọi P, Q, R, S theo thứ tự là trung điểm của AB, HC, AC, HB thì ba đường thẳng MN, PQ, RS đồng quy.

Giải

1. Trong tam giác vuông ADH ta có:

\(DN = \frac{1}{2}AH\)

Tương tự ta có: \(EN = \frac{1}{2}AH\)

Vậy ND = NE.

\( \Rightarrow \) Điểm N nằm trên đường trung trực của đoạn thẳng DE.

Ta cũng có: \(DM = \frac{1}{2}BC\) và \(EM = \frac{1}{2}BC\)

\( \Rightarrow MD = ME\)

Từ (1) và (2) suy ra M, N và trung điểm K của DE là ba điểm thẳng hàng.

2. Từ kết quả trên ta suy ra PQ là trung trực của EF và RS là trung trực của DF. Trong tam giác DEF, ba đường trung trực MN, PQ, RS đồng quy.