Bài 9: Biến đổi các biểu thức hữu tỉ và Giá trị của phân thức

Tóm tắt lý thuyết

Kiến thức cần nhớ:

Ta có thể biến đổi một biểu thức hữu tỉ thành một phân thức nhờ các quy tắc của các phép cộng trừ, nhân, chia phân thức.

Trước khi làm bài toán liên quan đến giá trị phân thức cần tìm điều kiện của biến để giá trị tương ứng của mẫu thức khác 0, từ đó giá trị của phân thức mới được xác định.

Bài tập minh họa


Bài 1: Biến đổi các biểu thức sau thành phân thức:

a.\(1 – \frac{x}{{1 – \frac{x}{{x + 1}}}}\)

b.\(\frac{{1 – \frac{2}{{x + 1}}}}{{1 – \frac{{{x^2} – 2}}{{{x^2} – 1}}}}\)

Hướng dẫn

a.

\(\begin{array}{l} 1 – \frac{x}{{1 – \frac{x}{{x + 1}}}}\\ = 1 – \left[ {x:\left( {1 – \frac{x}{{x + 1}}} \right)} \right]\\ = 1 – \left[ {x:\left( {\frac{{x + 1}}{{x + 1}} – \frac{x}{{x + 1}}} \right)} \right]\\ = 1 – \left[ {x:\frac{1}{{x + 1}}} \right]\\ = 1 – x\left( {x + 1)} \right) \end{array}\)

b.

\(\begin{array}{l} \frac{{1 – \frac{2}{{x + 1}}}}{{1 – \frac{{{x^2} – 2}}{{{x^2} – 1}}}}\\ = \left( {1 – \frac{2}{{x + 1}}} \right):\left( {1 – \frac{{{x^2} – 2}}{{{x^2} – 1}}} \right)\\ = \left( {\frac{{x + 1}}{{x + 1}} – \frac{2}{{x + 1}}} \right):\left( {\frac{{{x^2} – 1}}{{{x^2} – 1}} – \frac{{{x^2} – 2}}{{{x^2} – 1}}} \right)\\ = \left( {\frac{{x + 1 – 2}}{{x + 1}}} \right):\left( {\frac{{{x^2} – 1 – {x^2} + 2}}{{{x^2} – 1}}} \right)\\ = \frac{{x – 1}}{{x + 1}}:\frac{1}{{{x^2} – 1}}\\ = \frac{{x – 1}}{{x + 1}}.\left( {x – 1} \right)\left( {x + 1} \right)\\ = {\left( {x – 1} \right)^2} \end{array}\)

Bài 2: Tìm điều kiện xác định của các phân thức sau:

a. \(\frac{{4x}}{{3x – 6}}\)

b. \(\frac{5}{{{x^2} – 2x}}\)

c.\(\frac{{5x + y}}{{{x^2} – 4{y^2}}}\)

Hướng dẫn

a.

\(\frac{{4x}}{{3x – 6}}\)

ĐKXĐ:

\(\begin{array}{l} 3x – 6 \ne 0\\ \Rightarrow x \ne 2 \end{array}\)

b.

\(\frac{5}{{{x^2} – 2x}}\)

ĐKXĐ:

\(\begin{array}{l} {x^2} – 2x \ne 0{\rm{ }}\\ \Leftrightarrow x\left( {x – 2} \right) \ne 0\\ \Leftrightarrow x \ne 0;2 \end{array}\)

c.

\(\frac{{5x + y}}{{{x^2} – 4{y^2}}}\)

ĐKXĐ:

\(\begin{array}{l} {x^2} – 4{y^2} \ne 0{\rm{ }}\\ \Leftrightarrow \left( {x – 2y} \right)\left( {x + 2y} \right) \ne 0\\ \Leftrightarrow x \ne \pm 2y \end{array}\)

Bài 3: Tính giá trị biểu thức A tại x=-8

\(A = \frac{{3{x^2} – x}}{{9{x^2} – 6x + 1}}\)

Hướng dẫn

Ta có:

\(\begin{array}{l} A = \frac{{3{x^2} – x}}{{9{x^2} – 6x + 1}}\\ {\rm{ }} = \frac{{x\left( {3x – 1} \right)}}{{{{\left( {3x – 1} \right)}^2}}} \end{array}\)

ĐKXĐ:

\(x \ne \frac{1}{3}\)

Tại \(x = – 8\) ta có:

\(\begin{array}{l} \frac{x}{{3x – 1}}\\ = \frac{{ – 8}}{{3.\left( { – 8} \right) – 1}}\\ = \frac{8}{{25}} \end{array}\)