Bài 7: Phân tích đa thức thành nhân tử bằng phương pháp dùng hằng đẳng thức

 

Tóm tắt lý thuyết

1.1 Kiến thức cần nhớ

Trước hết chúng ta cần nhớ lại 7 hằng đẳng thức đáng nhớ đã học trong các bài học trước.

Ta có thể nhận thấy rằng mỗi vế của hằng đẳng thức đều là những nhân tử nên ta có thể sử dụng 7 hằng đẳng thức này để phân tích đa thức thành nhân tử.

Bài tập minh họa


Bài 1: Phân tích đa thức thành nhân tử:

a.  \({x^2} + 8x + 16\)

b.  \({x^2} – 4x + 4\)

Hướng dẫn:

a.

\(\begin{array}{l} {x^2} + 8x + 16\\ = {(x)^2} + 2.x.4 + {4^2}\\ = {(x + 4)^2} \end{array}\)

b.

\(\begin{array}{l} {x^2} – 4x + 4\\ = {x^2} – 2.x.2 + {2^2}\\ = {(x – 2)^2} \end{array}\)

Bài 2: Phân tích đa thức thành nhân tử:

a.  \({x^3} – \frac{1}{8}{y^3}\)

b.  \(\frac{1}{8}{x^3} + {y^3}\)

Hướng dẫn:

a.

\(\begin{array}{l} {x^3} – \frac{1}{8}{y^3}\\ = {x^3} – {\left( {\frac{1}{2}y} \right)^3}\\ = \left( {x – \frac{1}{2}y} \right)\left[ {{x^2} + x\frac{1}{2}y + {{\left( {\frac{1}{2}y} \right)}^2}} \right]\\ = \left( {x – \frac{1}{2}y} \right)\left( {{x^2} + \frac{1}{2}xy + \frac{1}{4}{y^2}} \right) \end{array}\)

b.

\(\begin{array}{l} \frac{1}{8}{x^3} + {y^3}\\ = {\left( {\frac{1}{2}x} \right)^3} + {y^3}\\ = \left( {\frac{1}{2}x + y} \right)\left[ {{{\left( {\frac{1}{2}x} \right)}^2} – \frac{1}{2}xy + {y^2}} \right]\\ = \left( {\frac{1}{2}x + y} \right)\left( {\frac{1}{4}{x^2} – \frac{1}{2}xy + {y^2}} \right) \end{array}\)

Bài 3: Phân tích đa thức thành nhân tử:

a.  \({x^2} – 9\)

b.  \({x^3} + 6{x^2}y + 12x{y^2} + 8{y^3}\)

c.  \(8{x^3} – 12{x^2}y + 6x{y^2} – {y^3}\)

Hướng dẫn:

a.

\(\begin{array}{l} {x^2} – 9\\ = {x^2} – {3^2}\\ = (x + 3)(x – 3) \end{array}\)

b.

\(\begin{array}{*{20}{l}} {{x^3} + 6{x^2}y + 12x{y^2} + 8{y^3}}\\ { = {x^3} + 3{x^2}2y + 3x{{(2y)}^2} + {{(2y)}^3}}\\ { = {{\left( {x + 2y} \right)}^3}} \end{array}\)

c.

\(\begin{array}{l} 8{x^3} – 12{x^2}y + 6x{y^2} – {y^3}\\ = {(2x)^3} – 3{(2x)^2}y + 3.2x{y^2} – {y^3}\\ = {(2x – y)^3} \end{array}\)