Bài 5: Phương trình chứa dấu giá trị tuyệt đối

Tóm tắt lý thuyết

1.1. Nhắc lại về giá trị tuyệt đối

Với số a, ta có: \(|a| = \left\{ \begin{array}{l}a\,\,\,neu\,\,\,a \ge 0\\ – a\,\,neu\,\,a\,\, < \,\,0\end{array} \right.\)

Tương tự như vậy, với đa thức ta cũng có: \(|f(x)| = \left\{ \begin{array}{l}f(x)\,\,\,neu\,\,f(x)\, \ge 0\\ – f(x)\,\,neu\,\,f(x)\, < \,0\end{array} \right.\)

Ví dụ 1: Bỏ dấu giá trị tuyệt đối và rút gọn các biểu thức:

a. \(A = |x – 4| + x – 3\)  khi \(x \ge 4.\)

b. \(B = 2x + 3 – |1 – 2x|\) khi \(x \ge \frac{1}{2}\)

c. \(C = |x – 2| + |2x – 3| + 2x + 1\) khi x > 2.

d. \(D = |x – 1| + 2x – 3.\)

Giải

a. Với giả thiết \(x \ge 4\), ta suy ra: x – 4 \(x – 4 \ge 0 \Rightarrow |x – 4| = x – 4\)

Do đó, A được viết lại: \(A = x – 4 + x – 3 = 2x – 7.\)

b. Với giả thiết \(x \ge \frac{1}{2}\), ta suy ra: \(1 – 2x \le 0 \Rightarrow |1 – 2x| =  – (1 – 2x)\)

Do đó, B được viết lại: \(B = 2x + 3 – {\rm{[}} – (1 – 2x){\rm{]}} = 2x + 3 + 1 – 2x = 4\)

c. Với giả thiết x > 2, ta suy ra: \(x – 2 > 0 \Rightarrow |x – 2| = x – 2\)

\(2x – 3 > 0 \Rightarrow |2x – 3| = 2x – 3\)

Do đó, C được viết lại: C = x – 2 + 2x – 3 + 2x +1 = 5x – 4.

d. Ta đi xét hai trường hợp:

Trường hợp 1: Khi \(x – 1 \ge 0 \Leftrightarrow x \ge 1,\) ta được: \(D{\rm{ }} = {\rm{ }}x – 1{\rm{ }} + {\rm{ }}2x – 3 = 3x – 4\)

Trường hợp 2: Khi \(x – 1 < 0 \Leftrightarrow x < 1\), ta được: \(D =  – (x – 1) + 2x – 3 = x – 2.\)

Tóm lại: \(D = \left\{ \begin{array}{l}3x – 4\,\,khi\,\,x\, \ge 1\\x – 2\,\,\,\,\,khi\,\,x\,\, < \,1\end{array} \right.\)

1.2. Giải phương trình chứa dấu giá trị tuyết đối

Ba dạng phương trình chứa dấu giá trị tuyệt đối, bao gồm:

Dạng 1: Phương trình: |f(x)| =k, với k là hằng số không âm.

Dạng 2: Phương trình: |f(x)| = |g(x)|

Dạng 3: Phương trình: |f(x)| = g(x)

Bài toán 1: Giải phương trình: |f(x)=k, với k là hằng số không âm.

Phương pháp giải

Bước 1: Đặt điều kiện để f(x) xác định (nếu cần)

Bước 2: Khi đó: \(\left| {f(x)} \right| = k \Leftrightarrow \,\left[ \begin{array}{l}f(x) = k\\f(x) =  – k\end{array} \right. \Rightarrow \) nghiệm x.

Bước 3: Kiểm tra điều kiện , từ đó đưa ra kết luận nghiệm cho phương trình.


Ví dụ 2: Giải phương trình

a. \(|2x – 3| = 1\)

b. \(\left| {\frac{{x + 1}}{x}} \right| – 2 = 0\)

Giải

a. Biến đổi tương đương phương trình: \(|2x – 3| = 1\)

\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}2x – 3 = 1\\2x – 3 =  – 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}2x = 1 + 3\\2x =  – 1 + 3\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 2\\x = 1\end{array} \right.\)

Vậy phương trình có hai nghiệm x = 2 và x = 1

b. Điều kiện xác định của phương trình là: \(x \ne 0\)

Biến đổi tương đương phương trình:

\(\left| {\frac{{x + 1}}{x}} \right| = 2 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\frac{{x + 1}}{x} = 2\\\frac{{x + 1}}{x} =  – 2\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x + 1 = 2x\\x + 1 =  – 2x\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x – 2x =  – 1\\x + 2x =  – 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 1\\x =  – \frac{1}{3}\end{array} \right.\)

Vậy phương trình có hai nghiệm x = 1 và \(x =  – \frac{1}{3}.\)


Bài toán 2: Giải phương trình |f(x)| = |g(x)|

Phương pháp giải

Bước 1: Đặt điều kiện để f(x) và g(x) xác định (nếu cần).

Bước 2: Khi đó \(|f(x)| = |g(x)| \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}f(x) = g(x)\\f(x) =  – g(x)\end{array} \right. \Rightarrow \) nghiệm x.

Bước 3: Kiểm tra điều kiện, từ đó đưa ra kết luận nghiệm cho phương trình.


Ví dụ 3: Giải phương trình

a. |2x + 3| = |x – 3|

b. \(\left| {\frac{{{x^2} – x + 2}}{{x + 1}}} \right| – |x| = 0\)

Giải

a. Biến đổi tương đương phương trình: |2x + 3| = |x – 3|

\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}2x + 3 = x – 3\\2x + 3 =  – (x – 3)\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}2x – x =  – 3 – 3\\2x + x = 3 – 3\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x =  – 6\\x = 0\end{array} \right.\)

Vậy phương trình có hai nghiệm x = -6 và x = 0.

b. Điều kiện xác định của phương trình là \(x \ne 0\)

Biến đổi tương đương phương trình

\(\left| {\frac{{{x^2} – x + 2}}{{x + 1}}} \right| = |x| \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\frac{{{x^2} – x + 2}}{{x + 1}} = x\\\frac{{{x^2} – x + 2}}{{x + 1}} =  – x\end{array} \right.\)

\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}{x^2} – x + 2 = x(x + 1)\\{x^2} – x + 2 =  – x(x + 1)\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}2x = 2\\2{x^2} =  – 2\,\,(VN)\end{array} \right. \Leftrightarrow x = 1\)

Vậy phương trình có nghiệm x = 1.


Bài toán 3: Giải phương trình |f(x)|=g(x).

Phương pháp giải

Ta có thể lựa chọn một trong hai cách sau:

Cách 1: (Phá dấu trị tuyệt đối) Thực hiện theo các bước:

Bước 1: Đặt điều kiện để f(x) và g(x) xác định (nếu cần).

Bước 2: Xét hai trường hợp:

** Trường hợp 1: Nếu \(f(x) \ge 0.\)   (1)

Phương trình có dạng: \(f(x) = g(x) \Rightarrow \) nghiệm và kiểm tra điều kiện (1).

** Trường hợp 2: Nếu f(x) < 0.   (2)

Phương trình có dạng: -f(x) = g(x)

\( \Rightarrow \) nghiệm x và kiểm tra điều kiện (2)

Bước 3: Kết luận nghiệm cho phương trình.

Cách 2: Thực hiện theo các bước:

Bước 1: Đặt điều kiện để f(x) và g(x) xác định (nếu cần) và \(g(x) \ge 0.\)

Bước 2: Khi đó  \(|f(x)| = g(x) \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}f(x) = g(x)\\f(x) =  – g(x)\end{array} \right. \Rightarrow \) nghiệm x.

Bước 3: Kiểm tra điều kiện, từ đó đưa ra kết luận nghiệm cho phương trình.


Ví dụ 4: Giải phương trình: |x + 4| + 3x = 5.

Giải

Ta có thể lựa chọn một trong hai cách sau:

Cách 1: Xét hai trường hợp:

Trường hợp 1: Nếu \(x + 4 \ge 0 \Leftrightarrow x \ge  – 4\)   (1)

Khi đó, phương trình có dạng:

\(x + 4 + 3x = 5 \Leftrightarrow 4x = 1 \Leftrightarrow x = \frac{1}{4},\) thoả mãn điều kiện (1)

Trường hợp 2: Nếu \(x + 4 < 0 \Leftrightarrow x <  – 4\)   (2)

Khi đó, phương trình có dạng:

\( – (x + 4) + 3x = 5 \Leftrightarrow 2x = 9\)

\( \Leftrightarrow x = \frac{9}{2},\) không thoả mãn điều kiện (2)

Vậy phương trình có nghiệm \(x = \frac{1}{4}\)

Cách 2: Viết lại phương trình dạng: |x + 4| = 5 – 3x

Với điều kiện: \(5 – 3x \ge 0 \Leftrightarrow x \le \frac{5}{3}\) (*)

Khi đó, phương trình được biến đổi: |x + 4| = 5 – 3x

\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x + 4 = 5 – 3x\\x + 4 =  – (5 – 3x)\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \frac{1}{4}\\x = \frac{9}{2}\,\,(khong\,\,thoa\,\,man\,(*))\end{array} \right.\)

Vậy phương trình có nghiệm \(x = \frac{1}{4}\)

Bài tập minh họa


Bài 1: Giải phương trình: |2x – 3m| = |x + 6|, với m là tham số.

Giải

Biến đổi tương đương phương trình

\(|2x – 3m|\,\, = \,|x + 6|\, \Leftrightarrow \,\left[ \begin{array}{l}2x – 3m = x + 6\\2x – 3m =  – (x + 6)\end{array} \right.\)

\( \Leftrightarrow \,\left[ \begin{array}{l}2x – x = 6 + 3m\\2x + x =  – 6 + 3m\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 6 + 3m\\x = m – 2\end{array} \right.\)

Vậy phương trình có hai nghiệm x = 6 + 3m và x = m – 2.


Bài 2: Giải phương trình: \(2\left| {x-1} \right| = {x^2} – 2x – 2.\)

Giải

Viết lại phương trình dưới dạng:

\(({x^2} – 2x + 1) – 2|x – 1| – 3 = 0 \Leftrightarrow {(x – 1)^2} – 2|x – 1| – 3 = 0\)  (1)

Đặt t = |x – 1|, điều kiện \(t \ge 0\).

Khi đó: \((1) \Leftrightarrow {t^2} – 2t – 3 = 0 \Leftrightarrow {t^2} + t – 3t + 3 = 0 \Leftrightarrow t(t + 1) – 3(t + 1) = 0\)

\( \Leftrightarrow (t + 1)(t – 3) = 0 \Leftrightarrow t = 3\)

Với t = 3, ta được: \(|x – 1| = 3 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x – 1 = 3\\x – 1 =  – 3\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 4\\x =  – 2\end{array} \right.\)

Vậy phương trình có 2 nghiệm là x = 4 hoặc x = -2.


Bài 3: Giải phương trình \(\frac{3}{{|x + 1|}} + \frac{{|x + 1|}}{3} = 2\)   (1)

Giải

Điều kiện xác định của phương trình là \(x \ne  – 1\)

Ta có thể lựa chọn một trong hai cách sau:

Cách 1: Đặt  \(t = \frac{{|x + 1|}}{3},\) điều kiện t > 0.

Khi đó: \((1) \Leftrightarrow \frac{1}{t} + t = 2 \Leftrightarrow {t^2} – 2t + 1 = 0 \Leftrightarrow t = 1\)

\( \Leftrightarrow \frac{{|x + 1|}}{3} = 1 \Leftrightarrow |x + 1| = 3 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x + 1 = 3\\x + 1 =  – 3\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 2\\x =  – 4\end{array} \right.\)

Vậy phương trình có 2 nghiệm x = 2 và x = -4.

Cách 2: Áp dụng bất đẳng thức Cosi, ta được:

\(VT = \frac{3}{{|x + 1|}} + \frac{{|x + 1|}}{3} \ge 2.\sqrt {\frac{3}{{|x + 1|}}.\frac{{|x + 1|}}{3}}  = 2 = VP\)

Vậy phương trình tương đương với:

\(\frac{3}{{|x + 1|}} = \frac{{|x + 1|}}{3} \Leftrightarrow 9 = {(x + 1)^2} \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x + 1 = 3\\x + 1 =  – 3\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 2\\x =  – 4\end{array} \right.\)

Vậy phương trình có 2 nghệm x = 2 và x = -4.