Bài 5: Phương trình chứa ẩn ở mẫu – Luyện tập

Tóm tắt lý thuyết

1.1. Đặt vấn đề

Chúng ta sẽ bắt đầu với việc giải phương trình: \(\frac{{{x^2} – 1}}{{x – 1}} = x\)

Ta sẽ trình bày theo hai cách để chỉ ra điều cần chú ý:

1. Với cách giải: \(\frac{{{x^2} – 1}}{{x – 1}} = x \Leftrightarrow {x^2} – 1 = x(x – 1) \Leftrightarrow {x^2} – 1 = {x^2} – x \Leftrightarrow x = 1\)

Vậy phương trình có nghiệm x = 1

2. Với các giải: \(\frac{{{x^2} – 1}}{{x – 1}} = x \Leftrightarrow \frac{{(x – 1)(x + 1)}}{{x – 1}} = x\)

\( \Leftrightarrow x + 1 = x \Leftrightarrow 1 = 0\) mâu thuẫn.

Vậy phương trình vô nghiệm.

⇒ Khi giải phương trình chứa ẩn ở mẫu, ta cần chú ý đến một yếu tố đặc biệt, đó là điều kiện xác định của phương trình.

1.2. Tìm điều kiện xác định của phương trình

Đối với các phương trình dạng: \(\frac{{{A_1}(x)}}{{{B_1}(x)}} + \frac{{{A_2}(x)}}{{{B_2}(x)}} + … + \frac{{{A_n}(x)}}{{{B_n}(x)}} = 0\)

điều kiện xác định của phương trình được cho bởi hệ: \(\left\{ \begin{array}{l}{B_1}(x) \ne 0\\{B_2}(x) \ne 0\\………\\{B_n}(x) \ne 0\end{array} \right.\)

Ví dụ 1: Tìm điều kiện xác định cho phương trình sau: \(\frac{{2{x^2}}}{{{x^2} – 1}} + \frac{{2x – 1}}{{{x^2} – 5x + 4}} = 2.\)

Giải

Điều kiện xác định của phương trình là: \(\left\{ \begin{array}{l}{x^2} – 1 \ne 0\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,(1)\\{x^2} – 5x + 4 \ne 0\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,(2)\end{array} \right.\)

Giải (1), ta được: \({x^2} \ne 1 \Leftrightarrow x \ne  \pm 1.\)

Giải (2): \({x^2} – 5x + 4 \ne 0 \Leftrightarrow {x^2} – x – 4x + 4 \ne 0 \Leftrightarrow x(x – 1) – 4(x – 1) \ne 0\)

\( \Leftrightarrow (x – 1)(x – 4) \ne 0 \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x – 1 \ne 0\\x – 4 \ne 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ne 1\\x \ne 4\end{array} \right.\)

Vậy điều kiện xác định của phương trình là: \(\left\{ \begin{array}{l}x \ne  \pm 1\\x \ne 1\\x \ne 4\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ne  \pm 1\\x \ne 4\end{array} \right.\)

1.3. Phương pháp giải phương trình chứa ẩn ở mẫu

Để giải phương trình chứa ẩn ở mẫu, ta thực hiện theo các bước sau:

Bước 1: Tìm điều kiện xác định của phương trình

Bước 2: Quy đồng mẫu hai vế của hai phương trình rồi khử mẫu.

Bước 3: Giải phương trình vừa nhận được.

Bước 4: Trong các giá trị của ẩn tìm được ở bước 3, các giá trị thoả mãn điều kiện xác định chính là nghiệm của phương trình đã cho.

Ví dụ 2: Giải phương trình \(\frac{x}{{x – 1}} = \frac{{2x}}{{{x^2} – 1}}\)

Giải

Điều kiện xác định của phương trình là: \(\left\{ \begin{array}{l}x – 1 \ne 0\\{x^2} – 1 \ne 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ne 1\\x \ne  \pm 1\end{array} \right. \Leftrightarrow x \ne  \pm 1\)

Biến đổi phương trình về dạng: \(\frac{{x(x + 1)}}{{(x – 1)(x + 1)}} = \frac{{2x}}{{(x – 1)(x + 1)}}\)

\( \Leftrightarrow x(x + 1) – 2x = 0 \Leftrightarrow {x^2} + x – 2x = 0 \Leftrightarrow {x^2} – x = 0 \Leftrightarrow x(x – 1) = 0\)

\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\x – 1 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\x = 1\end{array} \right.\)

x = 1 loại vì không thoả mãn điều kiện

Vậy phương trình có một nghiệm x = 0.


Ví dụ 3: Giải phương trình \(\frac{{x – 5}}{{x – 1}} + \frac{2}{{x – 3}} = 1\)

Giải

Điều kiện xác định của phương trình là: \(\left\{ \begin{array}{l}x – 1 \ne 0\\x – 3 \ne 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ne 1\\x \ne 3\end{array} \right.\)

Biến đổi phương trình về dạng:

\(\frac{{(x – 5)(x – 3)}}{{(x – 1)(x – 3)}} + \frac{{2(x – 1)}}{{(x – 1)(x – 3)}} = \frac{{(x – 1)(x – 3)}}{{(x – 1)(x – 3)}}\)

\( \Leftrightarrow (x – 5)(x – 3) + 2(x – 1) = (x – 1)(x – 3)\)

\( \Leftrightarrow {x^2} – 8x + 15 + 2x – 2 = {x^2} – 4x + 3\)
\( \Leftrightarrow  – 8x + 2x + 4x = 3 – 15 + 2\)
\( \Leftrightarrow  – 2x =  – 10\)
\( \Leftrightarrow x = 5\) thoả mãn điều kiện

Vậy phương trình có một nghiệm x = 5.

Bài tập minh họa


Bài 1: Giải phương trình \(\frac{{x + 5}}{{{x^2} – 5x}} – \frac{{x – 5}}{{2{x^2} + 10x}} = \frac{{x + 25}}{{2{x^2} – 5x}}\)

Giải

Viết lại phương trình dưới dạng:

\(\frac{{x + 5}}{{{x^2} – 5x}} – \frac{{x – 5}}{{2{x^2} + 10x}} = \frac{{x + 25}}{{2{x^2} – 5x}}\)

Điều kiện xác định của phương trình là:

\(\left\{ \begin{array}{l}x(x – 5) \ne 0\\2x(x + 5) \ne 0\\2({x^2} – 25) \ne 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ne 0\\x \ne  \pm 5\end{array} \right.\)

Biến đổi phương trình về dạng:

\(2{(x + 5)^2} – {(x – 5)^2} = x(x + 25)\)

\( \Leftrightarrow 2{x^2} + 20x + 50 – {x^2} + 10x – 25 = {x^2} + 25x\)

\( \Leftrightarrow 5x =  – 25 \Leftrightarrow x =  – 5\) không thoả mãn điều kiện.

Vậy phương trình vô nghiệm.


Bài 2: Giải phương trình \(\frac{{x – 8}}{{x – 7}} = \frac{1}{{7 – x}} + 8\)

Giải

Điều kiện xác định của phương trình là: \(\left\{ \begin{array}{l}x – 7 \ne 0\\7 – x \ne 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ne 7\\x \ne 7\end{array} \right. \Leftrightarrow x \ne 7\)

Tới đây để thực hiện tiếp chúng ta có thể lựa chọn một trong hai cách trình bày sau:

Cách 1: Quy đồng mẫu hai vế của phương trình rồi khử mẫu:

\(\frac{{x – 8}}{{x – 7}} =  – \frac{1}{{x – 7}} + 8 \Leftrightarrow \frac{{x – 8}}{{x – 7}} =  – \frac{1}{{x – 7}} + \frac{{8(x – 7)}}{{x – 7}}\)

\( \Leftrightarrow x – 8 =  – 1 + 8(x – 1) \Leftrightarrow x – 8 =  – 1 + 8x – 56\)

\( \Leftrightarrow x – 8x =  – 1 – 56 + 8 \Leftrightarrow  – 7x =  – 49 \Leftrightarrow x = 7\) không thoả mãn.

Vậy phương trình vô nghiệm.

Cách 2: Thực hiện phép quy đồng cục bộ:

\(\frac{{x – 8}}{{x – 7}} = \frac{1}{{7 – x}} + 8 \Leftrightarrow \frac{{x – 8}}{{x – 7}} + \frac{1}{{x – 7}} = 8 \Leftrightarrow \frac{{x – 8 + 1}}{{x – 7}} = 8\)

\( \Leftrightarrow 1 = 8\), mẫu thuẫn.

Vậy phương trình vô nghiệm.


Bài 3: Giải phương trình \({x^2} + \frac{{2x – 1}}{{x – 2}} = 3x + \frac{3}{{x – 2}}\)

Giải

Điều kiện xác định của phương trình là: \(x – 2 \ne 0 \Leftrightarrow x \ne 2.\)

Biến đổi phương trình về dạng:

\({x^2} – 3x + \frac{{2x – 1}}{{x – 2}} – \frac{3}{{x – 2}} = 0\)

\( \Leftrightarrow {x^2} – 3x + \frac{{2x – 1 – 3}}{{x – 2}} = 0\)

\( \Leftrightarrow {x^2} – 3x + \frac{{2x – 4}}{{x – 2}} = 0\)

\( \Leftrightarrow {x^2} – 3x + 2 = 0\)

\( \Leftrightarrow {x^2} – x – 2x + 2 = 0\)

\( \Leftrightarrow x(x – 1) – 2(x – 1) = 0 \Leftrightarrow (x – 1)(x – 2) = 0\)

\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x – 1 = 0\\x – 2 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 1\\x = 2\end{array} \right.\)

* x = 2 loại vì không thoả mãn điều kiện

Vậy phương trình có một nghiệm x = 1.