Bài 5: Phép cộng các phân thức đại số

Tóm tắt lý thuyết

1.1 Kiến thức cần nhớ

Muốn cộng hai phân thức có còng mẫu thức, ta cộng các tử thức với nhau và giữ nguyên mẫu thức.

Muốn cộng hai phân  thức có mẫu thức khác nhau, ta quy đồng mẫu thức rồi cộng các phân thức có cùng mẫu thức vừa tìm được.

Bài tập minh họa


Bài 1: Cộng các phân thức cùng mẫu:

a.\(\frac{{x – 5}}{5} + \frac{{1 – x}}{5}\)

b.\(\frac{{{x^2} – x}}{{xy}} + \frac{{1 – 4x}}{{xy}}\)

c.\(\frac{{5xy – 3x}}{{2{x^2}{y^3}}} + \frac{{5x – 7xy}}{{2{x^2}{y^3}}}\)

Hướng dẫn

a.

\(\begin{array}{l} \frac{{x – 5}}{5} + \frac{{1 – x}}{5}\\ = \frac{{x – 5 + 1 – x}}{5}\\ = \frac{{ – 4}}{5} \end{array}\)

b.

\(\begin{array}{l} \frac{{{x^2} – x}}{{xy}} + \frac{{1 – 4x}}{{xy}}\\ = \frac{{{x^2} – x + 1 – 4x}}{{xy}}\\ = \frac{{{x^2} – 5x + 1}}{{xy}} \end{array}\)

c.

\(\begin{array}{l} \frac{{5xy – 3x}}{{2{x^2}{y^3}}} + \frac{{5x – 7xy}}{{2{x^2}{y^3}}}\\ = \frac{{5xy – 3x + 5x – 7xy}}{{2{x^2}{y^3}}}\\ = \frac{{2x – 2xy}}{{2{x^2}{y^3}}}\\ = \frac{{2x(1 – y)}}{{2{x^2}{y^3}}}\\ = \frac{{1 – y}}{{x{y^3}}} \end{array}\)

Bài 2: Thực hiện quy đồng mẫu số rồi cộng các phân thức sau:

a. \(\frac{{1 – 2x}}{{2x}} + \frac{{2x}}{{2x – 1}} + \frac{1}{{4{x^2} – 2x}}\)

b. \(\frac{{{x^2}}}{{{x^2} – 2x}} + \frac{6}{{6 – 3x}} + \frac{1}{{x + 2}}\)

Hướng dẫn

a.

\(\begin{array}{l} \frac{{1 – 2x}}{{2x}} + \frac{{2x}}{{2x – 1}} + \frac{1}{{4{x^2} – 2x}}\\ = \frac{{\left( {1 – 2x} \right)\left( {2x – 1} \right)}}{{2x\left( {2x – 1} \right)}} + \frac{{2x.2x}}{{2x\left( {2x – 1} \right)}} + \frac{1}{{2x\left( {2x – 1} \right)}}\\ = \frac{{\left( { – 4{x^2} + 4x – 1} \right) + 4{x^2} + 1}}{{2x\left( {2x – 1} \right)}}\\ = \frac{{4x}}{{2x\left( {2x – 1} \right)}}\\ = \frac{2}{{2x – 1}} \end{array}\)

b.

\(\begin{array}{l} \frac{{{x^2}}}{{{x^2} – 2x}} + \frac{6}{{6 – 3x}} + \frac{1}{{x + 2}}\\ = \frac{{3{x^2}\left( {x + 2} \right)}}{{3x\left( {x – 2} \right)\left( {x + 2} \right)}} + \frac{{ – 6x\left( {x + 2} \right)}}{{3x\left( {x – 2} \right)\left( {x + 2} \right)}} + \frac{{3x\left( {x – 2} \right)}}{{3x\left( {x – 2} \right)\left( {x + 2} \right)}}\\ = \frac{{3{x^3} + 6{x^2} – 6{x^2} – 12x + 3{x^2} – 6x}}{{3x\left( {x – 2} \right)\left( {x + 2} \right)}}\\ = \frac{{3{x^3} + 3{x^2} – 18x}}{{3x\left( {x – 2} \right)\left( {x + 2} \right)}}\\ = \frac{{3x\left( {{x^2} + x – 6} \right)}}{{3x\left( {x – 2} \right)\left( {x + 2} \right)}}\\ = \frac{{{x^2} – 2x + 3x – 6}}{{\left( {x – 2} \right)\left( {x + 2} \right)}}\\ = \frac{{\left( {x – 2} \right)\left( {x + 3} \right)}}{{\left( {x – 2} \right)\left( {x + 2} \right)}}\\ = \frac{{x + 3}}{{x + 2}} \end{array}\)

Bài 3: Tính A:

\(A = \frac{{2x}}{{{x^2} + 2xy}} + \frac{y}{{xy – 2{y^2}}} + \frac{4}{{{x^2} – 4{y^2}}}\)

Hướng dẫn

Ta có:

\(\begin{array}{l} A = \frac{{2x}}{{{x^2} + 2xy}} + \frac{y}{{xy – 2{y^2}}} + \frac{4}{{{x^2} – 4{y^2}}}\\ = \frac{{2xy\left( {x – 2y} \right)}}{{xy\left( {x – 2y} \right)\left( {x + 2y} \right)}} + \frac{{xy\left( {x + 2y} \right)}}{{xy\left( {x – 2y} \right)\left( {x + 2y} \right)}} + \frac{{4y}}{{xy\left( {x – 2y} \right)\left( {x + 2y} \right)}}\\ = \frac{{2xy\left( {x – 2y} \right) + xy\left( {x + 2y} \right) + 4xy}}{{xy\left( {x – 2y} \right)\left( {x + 2y} \right)}}\\ = \frac{{\left( {2x – 4y + x + 2y + 4} \right)}}{{\left( {x – 2y} \right)\left( {x + 2y} \right)}}\\ = \frac{{3x – 2y + 4}}{{\left( {x – 2y} \right)\left( {x + 2y} \right)}}\\ = \frac{{3x – 2y + 4}}{{\left( {x – 2y} \right)\left( {x + 2y} \right)}} \end{array}\)