Bài 5: Diện tích hình thoi

 

Tóm tắt lý thuyết

1.1. Cách tính diện tích của một tứ giác có hai đường chéo vuông góc

Ví dụ: Cho tứ giác ABCD có \(AC \bot B{\rm{D}}\), AC=6cm; BD=7cm. Tính diện tích ABCD.

Giải:

Giải:

Gọi I là giao điểm của hai đường chéo.

Ta có:

\(\begin{array}{*{20}{l}}
{{S_{ABCD}} = {S_{ABD}} + {S_{BC{\rm{D}}}}}\\
{ = \frac{1}{2}AI.BD + \frac{1}{2}IC.BD}\\
{ = \frac{1}{2}BD.\left( {AI + IC} \right)}\\
{ = \frac{1}{2}B{\rm{D}}.AC = \frac{1}{2}.6.7 = 21(c{m^2})}
\end{array}\)

 

Nhận xét: Diện tích của một tứ giác có hai đường chéo vuông góc bằng một nửa tích hai đường chéo.

1.2. Diện tích hình thoi

  • Định lí: Diện tích hình thoi bằng một nửa tích hai đường chéo \(S = \frac{1}{2}{d_1}.{d_2}\)

– Lưu ý: Hình thoi cũng là một hình bình hành đặc biệt nên ta có thể sử dụng công thức tính diện tích hình bình hành để tính diện tích hình thoi.

 

 

Bài tập minh họa


Bài 1: Hình thoi ABCD có độ dài hai đường chéo lần lượt là AC=6cm và BD=8cm. Tính khoảng cách giữa hai cạnh đối AB và CD.

Hướng dẫn:

Gọi I là giao điểm của hai đường chéo của hình thoi ABCD.

Ta có IA=IC=3cm; IB=ID=4cm

Áp dụng định lí Pithagoras vào tam giác vuông AIB ta có:

\(\begin{array}{l} A{I^2} + I{B^2} = A{B^2}\\ {3^2} + {4^2} = 25 = A{B^2}\\ \Rightarrow AB = 5cm \end{array}\)

\(\begin{array}{l} {S_{ABC{\rm{D}}}} = \frac{1}{2}AC.B{\rm{D = AB}}{\rm{.}}{{\rm{d}}_{\left( {C{\rm{D}};AB} \right)}} = \frac{1}{2}6.8 = 24\left( {c{m^2}} \right)\\ \Rightarrow {\rm{AB}}{\rm{.}}{{\rm{d}}_{\left( {C{\rm{D}};AB} \right)}} = 24 \Rightarrow 5.{{\rm{d}}_{\left( {C{\rm{D}};AB} \right)}} = 24 \Rightarrow {{\rm{d}}_{\left( {C{\rm{D}};AB} \right)}} = \frac{{24}}{5}\left( {cm} \right) \end{array}\)

 

Bài 2: Cho hình thang cân ABCD có AB=5cm,BC=5cm CD=11cm. Gọi M,N,P,Q lần lượt là trung điểm của AB,BC,CD,DA. Tứ giác MNPQ là hình gì? Tính diện tích MNPQ. 

Hướng dẫn:

Gọi I là giao điểm của MP và QN ta có

QN là đường trung bình của hình thang. ⇒\(QN\parallel AB\parallel C{\rm{D}}\)

Xét hình thang AMPD có Q là trung điểm AD,

QI song song với DP

⇒ QI là đường trung bình của hình thang AMPD ⇒I là trung điểm MP

Mặt khác ta có MP là trục đối xứng của ABCD  ⇒ MP là trung trực của QN

⇒MNPQ là hình thoi.

Ta có \(QN = \frac{{AB + C{\rm{D}}}}{2} = \frac{{5 + 11}}{2} = 8\left( {cm} \right)\)

Gọi E và F lần lượt là hình chiếu của A và B lên CD.Dễ thấy rằng hai tam giác AED và BFC bằng nhau theo trường hợp cạnh huyền góc nhọn nên DE=FC

Mặt khác nhận thấy ABFE là hình chữ nhật ( có 3 góc vuông) nên AB-EF=5cm

Ta có : CD=CF+FE+ED=2ED+EF=2ED+5=11⇒ED=3(cm)

Áp dụng định lí Pithagoras vào tam giác vuông ADE được: AE2+ED2=AD2 ⇒AE2=AD2-ED2=52-32=16⇒AE=4 (cm)

Dễ thấy AE=MP=4cm

Diện tích hình thoi MNPQ là: \({S_{MNPQ}} = \frac{1}{2}MP.NQ = \frac{1}{2}4.8 = 16\left( {c{m^2}} \right)\)