Bài 4: Quy đồng mẫu thức nhiều phân thức

Tóm tắt lý thuyết

1.1 Kiến thức cần nhớ

Khi quy đồng mẫu thức nhiều phân thức, muốn tìm mẫu thức chung ta có thể làm như sau:

1)Phân tích mẫu thức của các phân thức đã cho thành nhân tử

2)Mẫu thức chung cần tìm là một tích mà các nhân tử được chọn như sau:

-Nhân tử bằng số của mẫu thức chung là tích các nhân tử bằng số ở các mẫu thức của các phân tử đã cho. (Nếu các nhân tử bằng số ở các mẫu thức là những số nguyên dương thì nhân tử bằng số của mẫu thức chung là BCNN của chúng);

-Với mỗi lũy thừa của cùng một biểu thức có mặt trong các mẫu thức, ta chọn lũy thừa với mẫu số cao nhất.

Muốn quy đồng mẫu thức nhiều phân thức ta có thể làm như sau:

-Phân tích các mẫu thức thành nhân tử rồi tìm mẫu thức chung;

-Tìm nhân tử phụ của mỗi biểu thức;

-Nhân cả tử và mẫu của mỗi phân thức với nhân tử phụ tương ứng.

Bài tập minh họa


Bài 1: Quy đồng mẫu thức các phân thức sau:

a.\(\frac{7}{{x + 4}},\frac{1}{{3{x^2} – 48}}\)

b.\(\frac{4}{{{x^3} – 7{x^2}}},\frac{1}{{2{x^2} – 14}}\)

Hướng dẫn

a.

\(\begin{array}{l} \frac{7}{{x + 4}}\\ = \frac{{7.3.\left( {x – 4} \right)}}{{3\left( {x + 4} \right)\left( {x – 4} \right)}}\\ = \frac{{21\left( {x – 4} \right)}}{{3\left( {x + 4} \right)\left( {x – 4} \right)}} \end{array}\)

\(\begin{array}{l} \frac{1}{{3{x^2} – 48}}\\ = \frac{1}{{3\left( {x + 4} \right)\left( {x – 4} \right)}} \end{array}\)

b.

\(\begin{array}{l} \frac{4}{{{x^3} – 7{x^2}}}\\ = \frac{4}{{x\left( {{x^2} – 7} \right)}}\\ = \frac{{4.2}}{{2x\left( {{x^2} – 7} \right)}}\\ = \frac{8}{{2x\left( {{x^2} – 7} \right)}} \end{array}\)

\(\begin{array}{l} \frac{1}{{2{x^2} – 14}}\\ = \frac{1}{{2\left( {{x^2} – 7} \right)}}\\ = \frac{x}{{2x\left( {{x^2} – 7} \right)}} \end{array}\)

Bài 2: Quy đồng mẫu thức các phân thức sau:

a.\(\frac{1}{{{x^6}{y^4}}},\frac{{29}}{{{x^{17}}{y^3}}}\)

b.\(\frac{3}{{25{x^3}{y^2}}},\frac{2}{{15{x^5}{y^2}}}\)

Hướng dẫn

a.

\(\begin{array}{l} \frac{1}{{{x^6}{y^4}}}\\ = \frac{{{x^{11}}}}{{{x^{17}}{y^4}}} \end{array}\)

\(\begin{array}{l} \frac{{29}}{{{x^{17}}{y^3}}}\\ = \frac{{29y}}{{{x^{17}}{y^4}}} \end{array}\)

b.

\(\begin{array}{l} \frac{3}{{25{x^3}{y^2}}}\\ = \frac{{3.3{x^2}}}{{3{x^2}.25{x^3}{y^2}}}\\ = \frac{{9{x^2}}}{{75{x^5}{y^2}}}\\ \frac{2}{{15{x^5}{y^2}}}\\ = \frac{{2.5}}{{5.15{x^5}{y^2}}}\\ = \frac{{10}}{{75{x^5}{y^2}}} \end{array}\)

Bài 3: Cho hai phân thức: \(\frac{1}{{{x^2} + 3x – 10}},\frac{x}{{{x^2} + 7x + 10}}\)

Chứng minh \({x^3} + 5{x^2} – 4x – 20\) là mẫu số chung của hai phân thức trên và quy đồng mẫu thức hai phân thức trên.

Hướng dẫn

Chứng minh:

\(\begin{array}{l} {x^3} + 5{x^2} – 4x – 20\\ = \left( {{x^2} + 3x – 10} \right)\left( {x + 2} \right)\\ {x^3} + 5{x^2} – 4x – 20\\ = \left( {{x^2} + 7x + 10} \right)\left( {x – 2} \right) \end{array}\)

Quy đồng mẫu thức:

\(\begin{array}{l} \frac{1}{{{x^2} + 3x – 10}}\\ = \frac{{x + 2}}{{\left( {{x^2} + 3x – 10} \right)\left( {x + 2} \right)}}\\ \frac{x}{{{x^2} + 7x + 10}}\\ = \frac{{x\left( {x – 2} \right)}}{{\left( {{x^2} + 7x + 10} \right)\left( {x – 2} \right)}} \end{array}\)