Bài 4: Phương trình tích – Luyện tập

 

Tóm tắt lý thuyết

1.1. Kiến thức cơ bản

Ta sử dụng, kết quả:

\(A(x).B(x) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}A(x) = 0\\B(x) = 0\end{array} \right.\)

Với phương trình

\(A(x).B(x)….M(x) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}A(x) = 0\\B(x) = 0\\……\\M(x) = 0\end{array} \right.\)

Lấy các nghiệm của các phương trình trên, ta được nghiệm của phương trình ban đầu.

Ví dụ 1: Giải các phương trình sau:

a. (x – 1) (3 – 2x) = 0

b. (5x – 3)(4x + 1)(x – 8)(x + 3) = 0

Giải

a. Phương trình tương đương với:

\(\left[ \begin{array}{l}x – 1 = 0\\3 – 2x = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 1\\x = \frac{3}{2}\end{array} \right.\)

Vậy phương trình có 2 nghiệm phân biệt là: \(x = 1,x = \frac{3}{2}\)

b. Phương trình tương đương với:

\(\left[ \begin{array}{l}5x – 3 = 0\\4x + 1 = 0\\x – 8 = 0\\x + 3 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \frac{3}{5}\\x =  – \frac{1}{4}\\x = 8\\x =  – 3\end{array} \right.\)

Vậy phương trình có 4 nghiệm \(x = \frac{3}{5},x =  – \frac{1}{4}\,,x = 8,x =  – 3\)


Ví dụ 2: Giải các phương trình sau:

a. \(2x(x + 1) = {x^2} – 1\)

b. \(3{x^3} = {x^2} + 3x – 1\)

Giải

a.  Ta có thể lựa chọn một trong hai cách trình bày sau:

Cách 1: Biến đổi phương trình về dạng:

2x(x+1) =(x-1) (x+1)

\( \Leftrightarrow \) 2x (x+1) – (x – 1)(x + 1) = 0

\( \Leftrightarrow \)(x + 1)(2x – x + 1) = 0

\( \Leftrightarrow \)(x + 1)(x+1) = 0

\( \Leftrightarrow \) x + 1 = 0

\( \Leftrightarrow \) x = -1

Vậy phương trình có nghiệm duy nhất x = – 1

Cách 2: Biến đổi phương trình về dạng:

\(2{x^2} + 2x – {x^2} + 1 = 0\)

\( \Leftrightarrow {x^2} + 2x + 1 = 0\)

\( \Leftrightarrow {(x + 1)^2} = 0\)

\( \Leftrightarrow \) x + 1 = 0

\( \Leftrightarrow \) x = -1

Vậy phương trình có nghiệm duy nhất x = – 1

b.  Biến đổi phương trình về dạng:

\(3{x^3} – {x^2} – 3x + 1 = 0\)

\( \Leftrightarrow {x^2}(3x – 1) – (3x – 1) = 0\)

\( \Leftrightarrow (3x – 1)({x^2} – 1) = 0\)

\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}3x – 1 = 0\\{x^2} – 1 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \frac{1}{3}\\x =  \pm 1\end{array} \right.\)

Vậy phương trình có 3 nghiệm phân biệt là \(x =  – 1,x = 1,x = \frac{1}{3}\)


Ví dụ 3: Cho phương trình \((x + 1 – 3m)(3x – 5 + 2m) = 0\)

a. Tìm các giá trị của m sao cho một trong các nghiệm của phương trình là x = 1.

b. Với mỗi m vừa tìm được ở câu a, hãy giải phương trình đã cho.

Giải

a. Để phương trình nhận x = 1 làm một nghiệm điều kiện là:

(1+1 – 3m)(3.1 – 5 + 2m) = 0

\( \Leftrightarrow (2 – 3m)( – 2 + 2m) = 0\)

\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}2 – 3m = 0\\ – 2 + 2m = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m = \frac{2}{3}\\m = 1\end{array} \right.\)

Vậy với \(m = \frac{2}{3}\) hoặc m = 1 thoả mãn điều kiện đầu bài.

b. Ta lần lượt thực hiện:

* Với \(m = \frac{2}{3}\) phương trình có dạng: \((x + 1 – 3.\frac{2}{3})(3x – 5 + 2.\frac{2}{3}) = 0\)

\( \Leftrightarrow (x – 1)(3x – \frac{{11}}{3}) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x – 1 = 0\\3x – \frac{{11}}{3} = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 1\\x = \frac{{11}}{9}\end{array} \right.\)

Vậy với \(m = \frac{2}{3}\) phương trình có các nghiệm \(x = 1,x = \frac{{11}}{9}\)

* Với m = 1 phương trình có dạng: (x + 1 – 3.1)(3x – 5 + 2.1) = 0

\( \Leftrightarrow (x – 2)(3x – 3) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x – 2 = 0\\3x – 3 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 2\\x = 1\end{array} \right.\)

Vậy với m = 1 phương trình có các nghiệm x = 2, x = 1.

Bài tập minh họa


Bài 1: Cho phương trình \(2{x^3} + \,ax\, + 3 = 0\)

a. Biết rằng x = -1 là một nghiệm của phương trình (1), hãy xác định a.

b. Với a vừa tìm được ở câu a) hãy tìm các nghiệm còn lại của phương trình.

Giải

a. Vì x = -1 là một nghiệm của phương trình (1) nên ta được:

\(2{( – 1)^3} + a( – 1) + 3 = 0 \Leftrightarrow  – 2 – a + 3 = 0 \Leftrightarrow a = 1\)

Vậy với a = 1 phương trình (1) có một nghiệm là x = -1.

b. Với a = 1 phương trình (1) có dạng: \(2{x^3} + x + 3 = 0\)    (2)

Để giải phương trình (2) ta cần phân tích đa thức \(2{x^3} + x + 3\) thành nhân tử, để thực hiện công việc này chúng ta có thể lựa chọn một trong hai cách sau:

Cách 1: Thực hiện phép phân tích:

\(2{x^3} + x + 3 = 2{x^3} + 2 + x + 1\)

\( = 2({x^3} + 1) + (x + 1)\)

\( = 2(x + 1)({x^2} – x + 1) + (x + 1)\)

\( = (x + 1)(2{x^2} – 2x + 2 + 1)\)

\( = (x + 1)(2{x^2} – 2x + 3)\)

Cách 2: Vì x = -1 là nghiệm của phương trình nên đa thức \(2{x^3} + x + 3\) sẽ chia hết cho x + 1 (thực hiện phép chia đa thức \(2{x^3} + x + 3\) ra nháp), từ đó ta được: \(2{x^3} + x + 3\, = (x + 1)(2{x^2} – 2x + 3)\)

Khi đó, phương trình có dạng:

\((x + 1)(2{x^2} – 2x + 3) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x + 1 = 0\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,(1)\\2{x^2} – 2x + 3 = 0\,\,\,\,\,\,(2)\end{array} \right.\)

Giải (1), ta được x = -1

Giải (2), ta có nhận xét: \(2{x^3} – 2x + 3\, = 2({x^2} – x + 1) > 0\)

\( \Rightarrow \) Phương trình (2) vô nghiệm.

Vậy phương trình có nghiệm duy nhất x = -1


Bài 2: Giải phương trình \(2{x^3} + {x^2} – 5x + 2 = 0.\) Biết rằng phương trình có một nghiệm là x = 1.

Giải

Thực hiện phép chia đa thức \(2{x^3} + {x^2} – 5x + 2\) cho x – 1, ta được:

\(2{x^3} + {x^2} – 5x + 2 = (x – 1)(2{x^2} + 3x – 2) = (x – 1)(2{x^2} + 4x – x – 2)\)

\( = (x – 1){\rm{[}}2x(x + 2) – (x + 2){\rm{]}} = (x – 1)(2x – 1)(x + 2) = 0\)

Khi đó, phương trình có dạng: \((x – 1)(2x – 1)(x + 2) = 0\)

\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x – 1 = 0\\2x – 1 = 0\\x + 2 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 1\\x = \frac{1}{2}\\x =  – 2\end{array} \right.\)

Vậy phương trình có ba nghiệm phân biệt \(x = 1,x = \frac{1}{2},x =  – 2\)


Bài 3: Giải các phương trình

a. \({x^2} – 9x + 20 = 0\)

b. \({x^3} – 4{x^2} + 5x = 0\)

Giải

a.  Biến đổi: \({x^2} – 9x + 20 = {x^2} – 4x – 5x + 20 = x(x – 4) – 5(x – 4) = (x – 4)(x – 5)\)

Khi đó, phương trình có dạng:

\((x – 4)(x – 5) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x – 4 = 0\\x – 5 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 4\\x = 5\end{array} \right.\)

Vậy phương trình có hai nghiệm phân biệt x = 4, x = 5

b. Biến đổi: \({x^3} – 4{x^2} + 5x = x({x^2} – 4x + 5) = x{\rm{[}}{(x – 2)^2} + 1]\)

Khi đó phương trình có dạng: \(x{\rm{[}}{(x – 2)^2} + 1] = 0 \Leftrightarrow x = 0\)

Vậy phương trình có nghiệm x = 0 .