Bài 3: Diện tích tam giác

Tóm tắt lý thuyết

1.1. Định lý

Diện tích tam giác bằng nửa tích của một cạnh với chiều cao ứng với cạnh đó.

\({\rm{S = }}\frac{1}{2}{ah}\)

1.2. Hệ quả

 

Diện tích tam giác vuông bằng nửa tích hai cạnh góc vuông.

\({\rm{S = }}\frac{1}{2}{bc}\)

Bài tập minh họa


Bài 1: Cho tam giác đều ABC có cạnh là a, I là một điểm di động thuộc miền trong của tam giác. gọi M;N;P lần lượt là hình chiếu của I lên AB,BC,AC. CHứng minh rằng khi I di chuyển trOng tam giác thì tổng IM+IN+IP không đổi.

Hướng dẫn:

Ta có:

\(\begin{array}{l} {S_{ABC}} = {S_{AIB}} + {S_{BIC}} + {S_{AIC}}\\ = \frac{1}{2}a.IM + \frac{1}{2}a.IN + \frac{1}{2}a.IP\\ = \frac{1}{2}a.\left( {IM + IN + IP} \right)\\ \Rightarrow IM + IN + IP = \frac{{2{S_{ABC}}}}{a} \end{array}\)

Mà tam giác ABC cố định và a cố định nên tổng IM+IN+IP không đổi khi I thay đổi.

Bài 2: Cho tam giác ABC trung tuyến AM. Qua B kẻ đường thẳng song song với AM cắt CA tại E. Gọi I là giao điểm của EM với AB. Chứng minh rằng các cặp tam giác sau có cùng diện tích: ABC và MEC; IEA và IMB

Hướng dẫn:

 

AM song song với BE

\( \Rightarrow {d_{\left( {A,BE} \right)}} = {d_{\left( {M,BE} \right)}}\)

\( \Rightarrow \frac{1}{2}BE.{d_{\left( {A,BE} \right)}} = \frac{1}{2}BE.{d_{\left( {M,BE} \right)}}\) (nhân cả hai vế cho \(\frac{1}{2}BE\))

\( \Rightarrow {S_{ABE}} = {S_{MBE}}\)

\( \Rightarrow {S_{BEC}} – {S_{ABE}} = {S_{BEC}} – {S_{MBE}}\)

\( \Rightarrow {S_{ABC}} = {S_{MEC}}\)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow {S_{ABM}} + {S_{AMC}} = {S_{MEA}} + {S_{AMC}}\\ \Rightarrow {S_{ABM}} = {S_{MEA}}\\ \Rightarrow {S_{IBM}} + {S_{IAM}} = {S_{IE{\rm{A}}}} + {S_{IAM}}\\ \Rightarrow {S_{IBM}} = {S_{IE{\rm{A}}}} \end{array}\)

Bài 3: Cho tam giác ABC vuông cân tại A có cạnh AB=6cm, trên đoạn AB, AC lần lượt lấy M và N sao cho AM=CN. Tính AM sao cho diện tích tam giác AMN lớn nhất 

Hướng dẫn:

Gọi độ dài AM là x (0

Diện tích tam giác AMN là :

\(\begin{array}{l} {S_{AMN}} = \frac{1}{2}AM.AN\\ = \frac{1}{2}x.\left( {6 – x} \right) = \frac{1}{2}\left( { – {x^2} + 6{\rm{x}}} \right) \end{array}\)

diện tích AMN lớn nhất khi \( – {x^2} + 6{\rm{x}}\) lớn nhất. Ta có:

\(\begin{array}{l} – {x^2} + 6{\rm{x = }} – {x^2} + 6{\rm{x}} – 9 + 9\\ = – {\left( {x – 3} \right)^2} + 9 \le 9 \end{array}\)

dấu “=” xảy ra khi \({x – 3}\)=0  tức là x=3.

Vậy tam giác AMN có diện tích lớn nhất khi  AM=3 cm.