Bài 3: Bất phương trình một ẩn

Tóm tắt lý thuyết

1.1. Bất phương trình một ẩn

Một bất phương trình với ẩn x có dạng:

A(x) > B(x) hoặc A(x) < B(x), \(A(x) \ge B(x),A(x) \le \,B(x)\).

Trong đó vế trái A(x) và vế phải A(x) và vế phải B(x) là hai biểu thức của cùng một biến x.

1.2. Tập nghiệm của bất phương trình

Tập hợp tất cả các nghiệm của một bất phương trình được gọi là tập nghiệm của bất phương trình đó.

Khi bài toán yêu cầu giải một bất phương trình, ta phải tìm tập nghiệm của bất phương trình đó.

Ví dụ 1: Cho bất phương trình:  \({x^2} – 4x < 3x\)

Kiểm tra xem các giá trị sau của x có phải là nghiệm của bất phương trình hay không?

a. x = -2                      b. x = 1                       c. x = 3

Giải

a. Thay x =-2 và bất phương trình, ta được:

\({( – 2)^2} – 4( – 2) < 3( – 2) \Leftrightarrow 4 + 8 <  – 6 \Leftrightarrow 12 <  – 6,\) mâu thuẫn.

Vậy x=-2 không phải là nghiệm của bất phương trình.

b. Thay x =1 và bất phương trình, ta được:

\({1^2} – 4.1 < 3.1 \Leftrightarrow 1 – 4 < 3 \Leftrightarrow  – 3 < 3,\) luôn đúng.

Vậy x = 1 là nghiệm của bất phương trình.

c. Thay x = 3 và bất phương trình, ta được:

\({3^2} – 4.3 < 3.3 \Leftrightarrow 9 – 12 < 9 \Leftrightarrow  – 3 < 9,\) luôn đúng.

Vậy x =3 là nghiệm của bất phương trình.

1.3. Bất phương trình tương đương

Hai bất phương trình có cùng một tập nghiệm là hai bất phương  trình tương đương.


Ví dụ 2: Viết thành bất phương trình và chỉ ra một nghiệm của nó từ các mệnh đề sau:

a. Tổng của một số nào đó và 4 lớn hơn 9.

b. Hiệu của 8 và 3 lần số nào đó nhỏ hơn 11.

Giải

a. Gọi số cần tìm là x.

Từ giả thiết “Tổng của x và 4 lớn hơn 9”, ta được: x + 4 > 9.

Ta có thể chọn x = 6 là một nghiệm của bất phương trình trên.

b. Gọi số cần tìm là x.

Từ giả thiết “Hiệu của 8 và 3 lần số x nhỏ hơn 11”, ta được: 8 – 3x.

Ta có thể chọn x = 0 là một nghiệm của bất phương trình trên.


Ví dụ 3: Hãy chỉ ra hai nghiệm trái dấu cho các bất phương trình sau:

a.  |x -3| < 6

b. |x + 1| \( \ge \) 8

Giải

a. Ta chọn hai nghiệm là x = -1 và x = 6, thật vậy:

* Với x = -1, ta có: |-1 – 3| < 6 \( \Leftrightarrow \) |-4| < 6 \( \Leftrightarrow \)4 < 6, luôn đúng.

* Với x=  6, ta có: |6 – 3| – 6 \( \Leftrightarrow \) |3| < 6 \( \Leftrightarrow \) 3 < 6, luôn đúng.

b. Ta chọn được hai nghiệm là x = -9 và x = 8, thật vậy:

* Với x = -9, ta có: |-9 + 1| \( \ge \) 8 \( \Leftrightarrow \) |-8| \( \ge \) 8 \( \Leftrightarrow \) 8 \( \ge \) 8, luôn đúng.

* Với x = 8, ta có: |8 + 1| \( \ge \) 8 \( \Leftrightarrow \) |9| \( \ge \) 8 \( \Leftrightarrow \) 9 \( \ge \) 8, luôn đúng.

Bài tập minh họa


Bài 1: Các cặp bất phương trình sau có tương đương không? Vì sao?

a. x + 1 < 2x và 3x < 4x – 1

b. x > 3 và \({x^2} – 4x + 3 > 0.\)

Giải

a. Với bất phương trình: x + 1 < 2x cộng 2x – 1 vào hai vế của bất phương trình, ta được:

\(x + 1 + 2x – 1 < 2x + 2x – 1 \Leftrightarrow 3x < 4x – 1.\)

Vậy hai phương trình đã cho tương đương.

b. Nhận xét rằng, x = 0 là nghiệm của bất phương trình thứ hai nhưng nghiệm của bất phương trình đầu.

Vậy hai bất phương trình đã cho không tương đương.


Bài 2: Cho bất phương trình: \(10x – 15 \ge {x^2} + 6.\)

Kiểm tra xem các giá trị sau của x có phải là nghiệm của bất phương trình hay không?

a. x = 5.

b. x =-2

c. x =7

Giải

a. x = 5 là nghiệm của bất phương trình

b. x =-2 không là nghiệm của bất phương trình.

c. x =7 là nghiệm của bất phương trình.


Bài 3: Các cặp bất phương trình sau có tương đương không? Vì sao?

a. 2 – x < 0 và x – 2 > 0.

b. |x – 2| < 0 và |2 – x| < 0

Giải

a. Khi nhân hai vế của bất phương trình 2 – x < 0 với -1, ta được: x – 2 > 0 đó chính là bất phương trình còn lại.

Vậy hai bất phương trình là tương đương.

b. Ta luôn có |a| = |-a| nên bất phương trình”

|x – 2| < 0 \( \Leftrightarrow \) |– (x-2)| < 0 \( \Leftrightarrow \) |2 – x| < 0

đó chính là bất phương trình còn lại.

Vậy hai phương trình là tương đương.