Bài 2: Định lí đảo và hệ quả của định lí Ta-lét – Luyện tập

Tóm tắt lý thuyết

1.1. Định lí đảo

Định lí Talet đảo: Nếu một đường thẳng cắt hai cạnh của tam giác và định ra trên hai cạnh này những đoạn thẳng tương ứng tỉ lệ thì đường thẳng đó song song với cạng còn lại của tam giác

1.2. Hệ quả của định lí Talet

Nếu một đường thẳng cắt hai cạnh của một tam giác và song song với cạnh còn lại thì nó tạo thành một tam giác có ba cạnh tương ứng tỉ lệ với ba cạnh của tam giác đã cho

Bài tập minh họa


,Bài 1: Cho tam giác ABC với D là một điểm bất kì trên AB, đường thẳng qua D và song song với BC cắt AC tại E, đường thẳng qua E và song song với AB cắt BC tại F, đường thẳng qua F và song song với BE cắt AC tại G. Chứng minh rằng: \(\frac{{A{\rm{D}}}}{{AB}} = \frac{{EG}}{{EC}}\)

Hướng dẫn:

Áp đụng định lí Thales cho tam giac ABC có DE song song BC ta có :\(\frac{{A{\rm{D}}}}{{AB}} = \frac{{A{\rm{E}}}}{{AC}}\) (1)

Áp đụng định lí Thales cho tam giac ABC có FE song song AB ta có : \(\frac{{A{\rm{E}}}}{{AC}} = \frac{{BF}}{{BC}}\) (2)

Áp đụng định lí Thales cho tam giac BEC có FG song song BE ta có : \(\frac{{BF}}{{BC}} = \frac{{EG}}{{EC}}\) (3)

Từ (1),(2) và (3) ta được :\(\frac{{A{\rm{D}}}}{{AB}} = \frac{{EG}}{{EC}}\)

Bài 2: Cho hình tang ABCD (AB, CĐ là đáy). Trên cạnh AD lấy E sao cho \(\frac{{A{\rm{E}}}}{{E{\rm{D}}}} = \frac{p}{q}\). Qua E kẻ đường thẳng song song với các đáy cắt BC tại F. Chứng minh rằng \(EF = \frac{{p.C{\rm{D}} + q.AB}}{{p + q}}\)

Hướng dẫn:

Ta có:

\(\begin{array}{l} \frac{{AE}}{{ED}} = \frac{p}{q} \Rightarrow \frac{{ED}}{{AE}} = \frac{{AD – AE}}{{AE}} = \frac{{AD}}{{AE}} – 1 = \frac{q}{p}\\ \Rightarrow \frac{{AE}}{{AD}} = \frac{p}{{p + q}} \end{array}\)

Gọi I là giao điểm của AC và EF.

Tam giác ACD có  EI song song CD nên theo định lí Thales ta được:

\(\begin{array}{l} \frac{{AE}}{{AD}} = \frac{{EI}}{{CD}} = \frac{{AI}}{{AC}} = \frac{p}{{p + q}}\\ \Rightarrow \left( {p + q} \right).EI = p.CD (1) \end{array}\)

Ta có:

\(\begin{array}{l} \frac{{AI}}{{AC}} = \frac{{AC – IC}}{{AC}} = 1 – \frac{{IC}}{{AC}} = \frac{p}{{p + q}}\\ \Rightarrow \frac{{IC}}{{AC}} = 1 – \frac{p}{{p + q}} = \frac{q}{{p + q}} \end{array}\)

Tam giác ABC có IF song song AB áp dụng định lí Thales ta có :

\(\begin{array}{l} \frac{{IC}}{{AC}} = \frac{{IF}}{{AB}} = \frac{q}{{p + q}}\\ \Rightarrow \frac{{IF}}{{AB}} = \frac{q}{{p + q}} \Rightarrow \left( {p + q} \right)IF = q.AB (2) \end{array}\)

Cộng (1) và (2) theo vế ta được:

\(\begin{array}{l} \left( {p + q} \right).EI + \left( {p + q} \right)IF = p.CD + q.AB\\ \left( {p + q} \right)\left( {EI + IF} \right) = p.CD + q.AB\\ EF = \frac{{p.CD + q.AB}}{{p + q}} \end{array}\)

Ta được điều cần chứng minh.

Bài 3: Cho hình thang ABCD với AB và CD là hai đáy AB < CD. Olà giao điểm của hai đường chéo. E là giao điểm của AD và BC. Chứng minh rằng EO đi qua trung điểm của hai đáy.

Hướng dẫn:

Gọi F và H lần lượt là giao điểm của OE và AB, CD.

Đường thẳng qua A và song song với BD cắt OE tại P.

Áp đụng định lí Thales trong tam giác EOD ta có:\(\frac{{EA}}{{ED}} = \frac{{EP}}{{EO}}\) (1)

Bên cạnh đó áp dụng định lí Thales trong tam giác ECD ta cũng có:\(\frac{{EA}}{{ED}} = \frac{{EB}}{{EC}}\)(2)

Từ (1) và (2) ta được :\(\frac{{EP}}{{EO}} = \frac{{EB}}{{EC}}\)

Trong tam giác EOC ta có \(\frac{{EP}}{{EO}} = \frac{{EB}}{{EC}}\) nên theo định lí Thales đảo ta được \(PB\parallel OC\) hay \(PB\parallel OA\)

Xét tứ giác APBO có :

\(\begin{array}{l} AP\parallel OB\\ PB\parallel OA \end{array}\)

Nên APBO là hình bình hành.

⇒ F là trung điểm AB (APBO là hình bình hành).(3)

Sử dụng định lí Thales trong tam giác ADH ta có :\(\frac{{AF}}{{DH}} = \frac{{EF}}{{EH}}\)

Tương tự trong tam giác EHC ta cũng có:\(\frac{{BF}}{{CH}} = \frac{{EF}}{{EH}}\)

\( \Rightarrow \frac{{AF}}{{DH}} = \frac{{BF}}{{CH}}\)

mà AF=BF nên CH=DH vậy H là trung điểm CD (4)

Từ (3) và (4) ta được điều phải chứng minh.