Bài 7: Đồ thị của hàm số y = ax (a ≠ 0)

Tóm tắt lý thuyết

1.1. Đồ thị của hàm số

Đồ thị của hàm số \(y=f(x)\) là tập hợp tất cả các điểm biểu diễn các cặp giá trị tương ứng (x;y) trên mặt phẳng toạ độ.

1.2. Đồ thị của hàm số \(y = {\rm{ax(a}} \ne {\rm{0)}}\)

  • Đồ thị của hàm số \(y = {\rm{ax}}\,\,\,{\rm{(a}} \ne {\rm{0)}}\) là một đường thẳng đi qua gốc toạ độ.

a>0

Trường hợp: a>0

a<0

Trường hợp: a<0

  • Vì đồ thị của hàm số y = ax là một đường thẳng đi qua gốc toạ độ nên ta chỉ cần xác định thêm một điểm A (thường cho x=1; y=a) khác điểm gốc O. Vẽ đường thẳng OA ta được đồ thị của hàm số y = ax.

Ví dụ 1:

Xác định hệ số a của hàm số y = ax trong mỗi trường hợp sau:

a. Đồ thị của hàm số đi qua điểm A(1;3).

b. Đồ thị của hàm số đi qua điểm B(-2;1).

Cho biết hàm số trong mỗi trường hợp trên đi qua góc phần tư nào của hệ trục toạ độ, tại sao?

Hướng dẫn giải:

a. Hàm số đi qua điểm A(1;3) nên ta có:

\(3 = a.1 \Rightarrow a = 3\)

Vậy \(y =3x\).

b. Tương tự hàm số đi qua điểm B(-2; 1), ta có:

\( – 2 = a.1 \Rightarrow a =  – \frac{1}{2}\)

Vậy \(y =  – \frac{1}{2}\).

Đồ thị hàm số y=3x qua góc phần tư I và III (vì hai toạ độ cùng dấu (cùng dương, cùng âm)).

Đồ thị hàm số \(y =  – \frac{1}{2}x\) qua góc phần tư II và IV (vì hai toạ độ trái dấu).


Ví dụ 2:

Vẽ đồ thị của hàm số \(y = \left\{ \begin{array}{l}3x\,\,\,voi\,\,\,x \ge 0\\ – \frac{1}{3}x\,\,voi\,\,x < 0\end{array} \right.\)

Hướng dẫn giải:

  • Với \(x \ge 0\):

Cho x=0 được \(y = 0 \Rightarrow O(0;0)\) thuộc đồ thị

Cho x=1 được \(y = 3 \Rightarrow A(1;3)\) thuộc đồ thị

  • Với \(x < 0\):

Cho x=-1 được \(y = \frac{1}{3} \Rightarrow B\left( { – 1;\frac{1}{3}} \right)\) thuộc đồ thị

Cho x=-3 được \(y = 1 \Rightarrow C( – 3;1)\) thuộc đồ thị

Vẽ đồ thị: Nối A, O,B, C ta được đồ thị là đường gấp khúc AOC.

 

Bài tập minh họa


Bài 1:

Cho hình vẽ bên, điểm M có tọa độ \(M\left( {{x_0};{y_0}} \right)\) với \({x_0},{y_0} \in Q.\) Hãy tính tỉ số \(\frac{{{y_0} + 3}}{{{x_0} – 2}}.\)

Hướng dẫn giải:

Đường thẳng OA chứa đồ thị hàm số y=ax điểm A(-2;3) thuộc đồ thị hàm số đó nên ta có 3=-2a, suy ra \(a =  – \frac{3}{2}.\)

Vậy hàm số được cho bởi công thức \(y =  – \frac{3}{2}x.\)

M và A là hai điểm thuộc đồ thị của hàm số nên hoành độ và tung độ của chúng là những đại lượng tỉ lệ thuận, từ đó ta có:

\(\frac{{{y_0}}}{{{x_0}}} = \frac{3}{{ – 2}} = \frac{{{y_0} + 3}}{{{x_0} – 2}}\)

Vậy \(\frac{{{y_0} + 3}}{{{x_0} – 2}} =  – \frac{3}{2}\).


Bài 2:

a. Vẽ đồ thị hàm số \(y = \frac{1}{3}x\).

b. Gọi A là điểm trên đồ thị. Tìm toạ độ điểm A, biết \({y_A} = 2.\)

c. Gọi B là điểm trên đồ thị. Tìm toạ độ điểm B biết \({y_B} + 2{x_B} = 5\).

Hướng dẫn giải:

a. Đồ thị hàm số \(y = \frac{1}{3}x\) đi qua hai điểm O(0;0) và C(3;1).

b. A là điểm trên đồ thị nên \({y_A} = \frac{1}{3}{x_A}\) mà \({y_A} = 2\) nên \(2 = \frac{1}{3}{x_A} \Rightarrow {x_A} = 6\)

Vậy A(6;2).

c. B là điểm trên đồ thị nên \({y_B} = \frac{1}{3}{x_B}\) mà \({y_B} + 2{x_B} = 5\)

Nên \(\frac{1}{3}{x_B} + 2{x_B} = 5 \Rightarrow \frac{7}{3}{x_B} = 5\).

\( \Rightarrow {x_B} = \frac{{15}}{7}\) và \({y_B} = \frac{1}{3}.\frac{{15}}{7} = \frac{5}{7}\)

Vậy \(B\left( {\frac{{15}}{7};\frac{5}{7}} \right)\).


Bài 3:

Cho hàm số y=f(x) thoả mãn:

a. f(0)=0.

b. \(\frac{{f({x_1})}}{{{x_1}}} = \frac{{f({x_2})}}{{{x_2}}}\) với \({x_1},{x_2} \in R\).

Chứng minh rằng f(x)=ax với a là hằng số.

Hướng dẫn giải:

Giả sử ta có f(x)=ax với a là hằng số. Cho x=1 ta được f(1)=a. Nên ta đặt a=f(1). Ta chứng minh rằng f(x)=ax với mọi số thực x.

Thật vậy:

  • Nếu x=0 thì theo giả thiết:

f(0)=0=a.0

  • Nếu \(x \ne 0\) thì theo giả thiết ta có \(\frac{{f(x)}}{x} = \frac{{f(1)}}{1} = a\)

Suy ra f(x)=ax

Vậy f(x)=ax với mọi  \(x \in R.\)