Bài 7: Định lí Pi-ta-go

Tóm tắt lý thuyết

1.1. Định lý Pitago

Trong một tam giác vuông, bình phương của cạnh huyền bằng tổng các bình phương của hai cạnh góc vuông.

\(\Delta ABC\) vuông tại \(A \Rightarrow B{C^2} + A{B^2} + A{C^2}\)

1.2. Định lý Pitago đảo

Nếu một tam giác có bình phương của một cạnh bằng tổng các bình phương của hai cạnh kia thì tam giác đó là tam giác vuông.


Ví dụ 1: Nếu độ dài hai cạnh góc vuông của tam giác vuông tăng lên 2 lần, 3 lần thì độ dài cạnh huyền thay đổi như thế nào?

Giải

Gọi b, c là độ dài của cạnh góc vuông, a là độ dài cạnh huyền của tam giác vuông. Ta có: \({a^2} = {b^2} + {c^2}\)

Độ dài hai cạnh góc vuông tăng lên 2 lần ta có \(b’ = 2b \,c’ = 2c.\) Khi đó ta có \(a{‘^2} = b{‘^2} + c{‘^2} = {(2b)^2} + {(2c)^2} = 4{b^2} + 4{c^2}\) hay \(a{‘^2} = 4({b^2} + {c^2}) = (2{a^2})\) suy ra cạnh huyền \(a’\) tăng lên 2 lần. (Do \(a’ = 2a\))

Tương tự độ dài cạnh huyền tăng lên lên 3 lần khi độ dài hai cạnh góc vuông tăng lên 3 lần.


Ví dụ 2: Cho tam giác ABC vuông ở A. Gọi M là trung điểm của AB, kẽ MH vuông góc với BC tại H. Chứng minh \(C{H^2} – B{H^2} = A{C^2}.\)

Giải

Nối CM. Trong tam giác vuông CHM có:

\(C{H^2} = C{M^2} – CM\)

Do đó:

\(\begin{array}{l}C{H^2} – B{H^2} = (C{M^2} – M{H^2}) – B{H^2}\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = C{M^2} – (M{H^2} + B{H^2})\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = C{M^2} – B{M^2}\end{array}\)

Mà MB = MA (gt)

Nên \(C{H^2} – B{H^2} = C{M^2} – M{A^2}\)

Vậy \(C{H^2} – B{H^2} = A{C^2}\)


Ví dụ 3: Cho tam giác nhọn ABC kẽ AH vuông góc với BC (\((H \in BC).\) Tính chu vi tam giác  ABC. Biết AC = 20cm, AH =12cm, BH =5cm.

Giải

Ta có tam giác AHB vuông tại H. Theo định lý Pitago ta có:

\(\begin{array}{l}A{B^2} = A{H^2} + H{B^2}\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = \,{12^2}\,\, + \,\,{5^2}\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = MM\,\, + \,25\,\, = 169\\AB\, = 13\,\,(cm)\end{array}\)

Tam giác AHC vuông tại H. Theo định lý Pitago ta có:

\(H{C^2} = A{C^2} – A{H^2} = {20^2} – {12^2} = 400 – 144 = 256 = {16^2}\)

HC = 16 (cm)

Nên BC = BH + HC = 5 +16 = 21 (cm)

Chu vi tam giác ABC là:

AB + BC + CA = 13 + 21 + 20 = 54 (cm)

Bài tập minh họa


Bài 1: Tam giác ABC có \(\widehat {A\,} = {120^0},BC = a,AC = b,AB = c.\)

Chứng minh rằng \({a^2} = {b^2} + {c^2} + bc\)

Giải

Kẻ \(BH \bot AC\) tại H

Xét \(\Delta BHA\) vuông

\(B{H^2} = {C^2} – {\left( {\frac{c}{2}} \right)^2} = \frac{{3{c^2}}}{4}\)

Xét \(\Delta BHC\) vuông:

\(B{C^2} = C{H^2} + B{H^2} = {\left( {{b^2} + \frac{c}{2}} \right)^2} + \frac{{3{c^2}}}{4} = {b^2} + bc + {c^2}\)


Bài 2: Cho tam giác đều ABC, điểm M ở bên trong tam giác, trong đó MA = 1cm, MB=2cm, MC = \(\sqrt 3 \) cm

a. Tính độ dài cạnh của tam giác ABC

b. Tính số đo các góc AMB, BMC, CMA.

Giải

a. Vẽ \(\Delta BMD\) đều (D và M khác phía đối với AB)

Xét \(\Delta BDA\) và \(\Delta BMC\):

BD = BM

BA = BC

\(\widehat {DBA} = \widehat {MBC} = {60^0} – \widehat {ABM}\)

Vậy \(\Delta BDA = \Delta BMC\) (c.g.c)

\( \Rightarrow DA = MC = \sqrt 3 \)

\(\Delta ADM\) có \(A{D^2} + A{M^2} = 3 + 1 = 4 = M{D^2}\)

\( \Rightarrow \widehat {MAD} = {90^0}\) (định lý Pitago đảo)

\(\Delta ADM\) vuông có \(MA = \frac{1}{2}MD\) nên \(\widehat {ADM} = {30^0}\)

Suy ra \(\widehat {ADB} = \widehat {ADM} + \widehat {MDB} = {30^0} + {60^0} = {90^0}\)

Trong \(\Delta ADB\) vuông: \(A{B^2} = A{D^2} + D{B^2} = 3 + 4 = 7\)

Vậy \(AB = \sqrt 7 \)

b. \(\widehat {AMB} = \widehat {AMD} + \widehat {BMD} = {60^0} + {60^0} = {120^0}\)

\(\Delta BMC\) có \(M{B^2} + M{C^2} = 4 + 3 = 7 = B{C^2}\)

\( \Rightarrow \widehat {BMC} = {90^0}\) (định lý Pitago đảo)

Suy ra \(\widehat {AMC} = {150^0}\)


Bài 3: Từ điểm O trong \(\Delta ABC\), kẻ OF, OG, OH vuông góc với AB, BC, CD. Chứng minh hệ thức:

\(A{F^2} + B{G^2} + C{H^2} = A{H^2} + B{F^2} + C{G^2}\)

Giải

Ta có: \(O{A^2}{\rm{ = A}}{{\rm{F}}^2}{\rm{ +  O}}{{\rm{F}}^2} = A{H^2} + O{H^2}\,{\,^{(1)}}\)

(\(\Delta AFO,\,\Delta AHO\) vuông tại \({F_1}H\))

\(O{B^2}{\rm{ = B}}{{\rm{G}}^2}{\rm{ +  O}}{{\rm{G}}^2} = B{F^2} + O{F^2}\,{\,^{(2)}}\)

(\(\Delta BOG,\,\Delta BFO\) vuông tại G, F)

\(O{C^2}{\rm{ = C}}{{\rm{H}}^2}{\rm{ +  O}}{{\rm{H}}^2} = C{G^2} + O{G^2}\,{\,^{(3)}}\)

(\(\Delta OGH,\,\Delta OGC\) vuông tại H, G)

Cộng vế với vế của (1), (2) và (3) ta được:

\(\begin{array}{l}{\rm{A}}{{\rm{F}}^2} + O{F^2} + B{G^2} + O{G^2} + C{H^2} + O{H^2}\\ = A{H^2} + O{H^2} + B{F^2} + O{F^2} + C{G^2} + O{G^2}\end{array}\)

Vậy \({\rm{A}}{{\rm{F}}^2} + B{G^2} + C{H^2} = A{H^2} + B{F^2} + C{G^2}\