Bài 6: Tam giác cân

Tóm tắt lý thuyết

1.1. Định nghĩa

Tam giác cân là tam giác có hai cạnh bằng nhau.

1.2. Tính chất

Trong một tam giác cân hai góc ở đáy bằng nhau.

* Nếu một tam giác có hai góc bằng nhau thì tam giác đó là tam giác cân

* Tam giác vuông cân là tam giác vuông hai cạnh góc vuông bằng nhau.

1.3. Tam giác đều

Định nghĩa: Tam giác đều là tam giác có ba cạnh bằng nhau.

Hệ quả:

* Trong tam giác đều, mỗi góc bằng  \({60^0}\)

* Nếu một tam giác có ba góc bằng nhau thì tam giác đó là tam giác đều.

* Nếu một tam giác cân có một góc bằng \({60^0}\) thì tam giác đó là tam giác đều.


Ví dụ 1: Cho tam giác ABC cân tại A có \(\widehat A = {50^0}\)

a. Tính \(\widehat B,\,\,\widehat C\)

b. Lấy điểm D thuộc cạnh AB, điểm E thuộc cạnh AC sao cho AD = AE. Chứng minh rằng DE // BC.

Giải

a. Ta có:

\(\begin{array}{l}\widehat B = \,\,\widehat C = \frac{{{{180}^0} – \widehat A}}{2} = \frac{{{{180}^0} – {{50}^0}}}{2}\\ = \widehat B = \,\,\widehat C = {65^0}\,{\,^{(1)}}\end{array}\)

b. AD = AE nên \(\Delta ADE\) cận tại A

Suy ra \(\,\widehat {ADE} = \frac{{{{180}^0} – \widehat A}}{2} = \frac{{{{180}^0} – {{50}^0}}}{2} = {65^0}\,{\,^{(2)}}\)

Từ (1) và (2) suy ra \(\widehat B = \widehat {ADE}\)

Vậy DE // BC (hai góc đồng vị bằng nhau)


Ví dụ 2: Cho tam giác cân tại A. Gọi D là trung điểm của AC, gọi E là trung điểm của AB. So sánh các độ dài BD và CE.

Giải

Xem hình vẽ:

Cách 1: \(\Delta ABD\) và \(\Delta ACE\) có:

AB = AC (gt)

\(\widehat A\) chung

Nên \(\Delta ABD = \Delta ACE\,\,(c.g.c)\)

Suy ra BD = CE.

Cách 2: \(\Delta BDC\) và \(\Delta CEB\) có

CD = BE (gt)

\(\widehat B = \widehat {C\,}\,(gt)\)

BC cạnh chung

Nên \(\Delta BDC = \Delta CEB\,\,\,(c.g.c)\)

Suy ra BD = CE


Ví dụ 3: Cho \(\Delta ABC\) cân tại A và có \(\widehat B = 2\widehat A\) phân giác của góc B cắt AC tại D.

a. Tính các góc của \(\Delta ABC\)

b. Chứng minh DA = DB

c. Chứng minh DA = BC

Giải

a. Ta có \(\widehat {A\,} + \widehat {B\,} + \widehat {C\,} = {180^0}\)

mà \(\Delta ABC\)cân tại A, có \(\widehat B = 2\widehat A\), nên:

\(\widehat {A\,} + 2\widehat {A\,} + \widehat {A\,} = {180^0}\)

Thay \(5\widehat {A\,} = {180^0} \Rightarrow \widehat {A\,} = {36^0}\)

Nên \(\widehat {B\,} = \widehat {C\,} = 2\widehat {A\,} = {72^0}\)

b. Ta có: \(\widehat {DBA} = \frac{1}{2}\widehat B = {36^0}\) (BD phân giác \(\widehat B\))

mà \(\widehat {A\,} = {36^0}\) nên \(\widehat {A\,} = \widehat {DBA}\)

Suy ra \(\Delta ABD\) cân tại D

Vậy \(DA = DB{\,^{\,(1)}}\)

c. Ta có: \(\widehat {BDC}\) là góc ngoài tại D của \(\Delta ABD\) nên

\(\widehat {BDC} = \widehat {DBA} + \widehat A = {36^0} + {36^0} = {72^0}\)

Mà \(\widehat C = {72^0}\) suy ra \(\Delta DBC\) cân tại B

Nên BD = BC (2)

Từ (1) và (2) suy ra AD = BC.

Bài tập minh họa


Bài 1: Cho  hai đường thẳng x’x và y’y song song và một đường thẳng cắt x’x tại M và y’y tại N. Trên đường thẳng y’y lấy hai điểm E, F ở về hai phía của N sao cho NE=NF=NM. Chứng minh:

a. ME, MF là hai tia phân giác của hai góc \(\widehat {xMN}\) và \(\widehat {x’MN}\)

b. \(\Delta M{\rm{EF}}\) là tam giác vuông

Giải

Ta có: MN=NF (gt)

Nên \(\Delta M{\rm{NF}}\)cân tại N

\( \Rightarrow \widehat {{M_1}} = \widehat {{F_1}}\)

Mà \(\widehat {{F_1}} = \widehat {{M_2}}\)(x’x // y’y và là 2 góc so le trong)

Suy ra \(\widehat {{M_1}} = \widehat {{M_2}}\)nên MF là phân góc của \(\widehat {xMN}\)

Chứng minh tương tự ta được ME là phân giác của \(\widehat {xMN}\)

b. Theo chứng minh trên thì ME và MF là hai tia phân giác của hai góc kề bù\(\widehat {xMN}\) và \(\widehat {xMN}\) nên \(ME \bot MF\)

Vậy \(\Delta M{\rm{EF}}\) vuông tại M.


Bài 2: Cho tam giác cân ABC (AB=AC) trên tia đối của tia BC lấy điểm D và trên tia đối của tia CB lấy điểm E sao cho CE = BD. Nếu A với D và A với E.

a. So sánh \(\widehat {ABD}\) và \(\widehat {ACE}\)

b. Chứng minh \(\Delta ADE\) cân.

Giải

a. Ta có:

\(\widehat {ABD}\) và \(\widehat {ABC}\) là hai góc kề bù

Suy ra \(\widehat {ABD} + \widehat {ABC} = {180^0}\)

Hay \(\widehat {ABD} = {180^0} – \widehat {ABC}\)

Tương tự, ta cũng có:

\(\widehat {ACE} = {180^0} – \widehat {ACB}\)

Mà \(\widehat {ABC} = \widehat {ACB}\) (t/c tam giác cân)

Suy ra \(\widehat {ABD} = \widehat {ACE}\)

b. Xét \(\Delta ABD\) và \(\Delta ACE\) có:

BD = CE (gt)

\(\widehat {ABD} = \widehat {ACE}\) (cmt)

BA = CA (gt)

Nên \(\Delta ABD = \Delta ACE\,\,(c.g.c)\)

Suy ra AD = AE

Vậy \(\Delta ADE\) cân tại A.


Bài 3: Cho \(\Delta ABD,\,\widehat B = 2\widehat D\), kẻ \(AH \bot BD\,\;(H \in BD)\)

Trên tia đối của tia BA lấy BE = BH. Đường thẳng EH cắt ED tại F. Chứng minh: FH = FA = FD.

Giải

\(\Delta BEH\) cân vì có

BH = BE (gt)

\(\widehat {ABD} = 2\widehat {{H_1}}\) (góc ngoài)

Hay \(\widehat {ABD} = 2\widehat {{H_2}}\,(\widehat {{H_1}} = \widehat {{H_2}}\) là hai góc đối đỉnh)

Mà \(\widehat {ABD} = 2\widehat D\)

Nên \(\widehat {{H_1}} = \widehat D\)

Vậy \(\Delta FHD\) cân tại F nên FH = FD (1)

\(\Delta AHD\) có \(\widehat A = {90^0} – \widehat D\)

Lại có \(\widehat {AHF} = {90^0} – \widehat {{H_2}} = {90^0} – \widehat D\)

Vậy \(\widehat {A\,} = \widehat {AHF},\) nên \(\Delta AHF\)cân tại F

Nên FA = FH (2)

Từ (1) và (2) suy ra: FH = FA = FD