Tóm tắt lý thuyết
1.1. Luỹ thừa của một tích
Luỹ thừa của một tích bằng tích các luỹ thừa:
\({(x.y)^n} = {x^n}.{y^n}\)
1.2. Luỹ thừa của một thương
Luỹ thừa của một thương bằng thương các luỹ thừa.
\({\left( {\frac{x}{y}} \right)^n} = \frac{{{x^n}}}{{{y^n}}}\,\,\,(y \ne 0)\)
Ví dụ 1:
Tính:
a. \({( – 2)^3} + {2^2} + {( – 1)^{20}} + {( – 2)^0}\).
b. \({({3^2})^2} – {( – {5^2})^2} + {\left[ {{{( – 2)}^3}} \right]^2}\).
c. \({2^4} + 8{\left[ {{{( – 2)}^2}:\frac{1}{2}} \right]^0} – {2^{ – 2}}.4 + {( – 2)^2}\).
Hướng dẫn giải:
a.
\(\begin{array}{l}{( – 2)^3} + {2^2} + {( – 1)^{20}} + {( – 2)^0}\\ = – {2^3} + {2^2} + {1^{20}} + 1 = – 8 + 4 + 1 + 1 = – 2\end{array}\).
b.
\(\begin{array}{l}{({3^2})^2} – {( – {5^2})^2} + {\left[ {{{( – 2)}^3}} \right]^2} = {3^{2.2}} – {5^{2.2}} + {( – {2^3})^2}\\ = {3^4} – {5^4} + {2^6} = 81 – 625 + 64 = – 480\end{array}\).
c.
\(\begin{array}{*{20}{l}} {{2^4} + 8{{\left[ {{{( – 2)}^2}:\frac{1}{2}} \right]}^0} – {2^{ – 2}}.4 + {{( – 2)}^2}}\\ { = {2^4} + 8.1 – {2^{ – 2}}{{.2}^2} + 4 = 16 + 8 – {2^{ – 2 + 2}} + 4}\\ { = 16 + 8 – {2^0} + 4 = 16 + 8 – 1 + 4 = 27} \end{array}\)
Ví dụ 2:
So sánh:
a. \({2^{300}}\) và \({3^{200}}\).
b. \({5^{300}}\) và \({3^{500}}\).
Hướng dẫn giải:
a. Ta có:
\({2^{300}} = {({2^3})^{100}} = {8^{100}}\)
\({3^{200}} = {({3^2})^{100}} = {9^{100}}\)
Vì \({8^{100}} < {9^{100}}\)
Vậy \({2^{300}} < {3^{200}}\).
b. Ta có:
\({5^{300}} = {({5^3})^{100}} = {125^{100}}\)
\({3^{500}} = {({3^5})^{100}} = {243^{100}}\)
Vì \({125^{100}} < {243^{100}}\)
Vậy \({5^{300}} < {3^{500}}\).
Ví dụ 3:
Chứng minh rằng: \({10^9} + {10^8} + {10^7}\) chia hết cho 222.
Hướng dẫn giải:
Ta có:
\(\begin{array}{l}{10^9} + {10^8} + {10^7} = {10^7}({10^2} + 10 + 1)\\ = {(2.5)^7}({10^2} + 10 + 1)\\ = {2^7}{.5^7}(100 + 10 + 1)\\ = {2^6}{.5^7}.2.111\\ = {2^6.5^7}.222\,\, \vdots \,\,222\end{array}\).
Vậy \({10^9} + {10^8} + {10^7}\) chia hết cho 222.
Bài tập minh họa
Bài 1:
Tính:
a. \({\left( {\frac{1}{2}} \right)^3}.{\left( {\frac{1}{4}} \right)^2}\)
b. \(\frac{{{{27}^2}{{.8}^5}}}{{{6^6}{{.32}^3}}}\)
Hướng dẫn giải:
a. \({\left( {\frac{1}{2}} \right)^3}.\left[ {{{\left( {\frac{1}{2}} \right)}^2}} \right]\)
\( = {\left( {\frac{1}{2}} \right)^3}.{\left( {\frac{1}{2}} \right)^4} = {\left( {\frac{1}{2}} \right)^7} = \frac{1}{{128}}\)
b.
\(\frac{{{{({3^3})}^2}.{{({2^3})}^5}}}{{{{(2.3)}^6}.{{({2^5})}^3}}} = \frac{{{3^6}{{.2}^{15}}}}{{{2^6}{{.3}^6}{{.2}^{15}}}} = \frac{1}{{{2^6}}} = \frac{1}{{64}}\)
Bài 2:
Tìm x biết:
a. \({(x – 2)^2} = 1\)
b. \({(x – 1)^{x + 2}} = {(x – 1)^{x + 4}}\)
Hướng dẫn giải:
a. Ta có: \({(x – 2)^2} = 1\). Do đó
\(\begin{array}{l}x – 2 = 1 \Rightarrow x = 3\\x – 2 = – 1 \Rightarrow x = 1\end{array}\)
Vậy x = 1; 3
b. \({(x – 1)^{x + 2}} = {(x – 1)^{x + 4}}\)
Nếu x = 1 thì \({0^3} = {0^5}\) đúng. Ta được một giá trị x = 1
Nếu \(x \ne 1 \Rightarrow x – 1 \ne 0.\) Chia 2 vế cho \({(x – 1)^{x + 2}}\) ta được: \({(x – 1)^{x + 4 – (x + 2) = 1}}\)
Hay \({(x – 1)^2} = 1.\) Do đó:
\(\begin{array}{l}x – 1 = 1 \Rightarrow x = 2\\x – 1 = – 1 \Rightarrow x = 0\end{array}\)
Vậy x = 0; 1; 2
Bài 3:
Số các chữ số của \({4^{16}}{.5^{25}}\) là bao nhiêu?
Hướng dẫn giải:
\({4^{16}}{.5^{25}} = {({2^2})^{16}}{.5^{25}} = {2^{32}}{.5^{25}}\)
\( = {2^7}.{(2.5)^{25}} = {128.10^{25}}\)
Vậy số các chữ số của \({4^{16}}{.5^{25}}\)là 28.