Bài 6: Cộng, trừ đa thức – Luyện tập

Tóm tắt lý thuyết

1.1. Cộng đa thức

Muốn cộng hai đa thức ta có thể lần lượt thực hiện các bước:

  • Viết liên tiếp các hạng tử của hai đa thức đó cùng với dấu của chúng.
  • Thu gọn các hạng tử đồng dạn (nếu có).

1.2. Trừ đa thức

Muốn trừ hai đa thức ta có thể lần lượt thực hiện các bước:

  • Viết các hạng tử của đa thức thứ nhất cùng với dấu của chúng.
  • Viết tiếp các hạng tử của đa thức thứ hai với dấu ngược lại.
  • Thu gọn các hạng tử đồng dạng (nếu có).

Ví dụ 1:

Tính tổng của: \(3{x^2}y – {x^3} – 2x{y^2} + 5\) và \(2{x^3} – 3x{y^2} – {x^2}y + xy + 6\).

Hướng dẫn gải:

Tổng của hai đa thức là:

\(\begin{array}{l}(3{x^2}y – {x^3} – 2x{y^2} + 5) + (2{x^3} – 3x{y^2} – {x^2}y + xy + 6)\\ = (3{x^2}y – {x^2}y) + ( – {x^3} + 2{x^3}) + ( – 2x{y^2} – 3x{y^2}) + xy + (5 + 6)\\ = 2{x^2}y + {x^3} – 5x{y^2} + xy + 11.\end{array}\)


Ví dụ 2:

Tìm đa thức M, biết:

a. \(M – (2{x^3} – 4xy + 6{y^2}) = {x^2} + 3xy – {y^2}\)

b. \((2{x^2} – 4xy + {y^2}) + M = 0\)

c. \((2{x^2} – 7xy + 3{y^2}) – 2M = 4{x^2} – 5xy + 9{y^2}\)

Hướng dẫn giải:

a. \(M = ({x^2} + 3xy – {y^2}) + (2{x^3} – 4xy + 6{y^2})\)\( = 2{x^3} + {x^2} – xy + 5{y^2}\).

b. \(M =  – (2{x^2} – 4xy + {y^2})\)\( =  – 2{x^2} + 4xy – {y^2}\).

c. \(\begin{array}{l}2M = (4{x^2} – 5xy + 9{y^2}) – (2{x^2} – 7xy – 3{y^2})\\2M = 2{x^2} + 2xy + 6{y^2}\\ \Rightarrow M = \frac{{2{x^2} + 2xy + 6{y^2}}}{2} = {x^2} + xy + 3{y^2}\end{array}\)

Vậy \(M = {x^2} + xy + 3{y^2}\).


Ví dụ 3:

Tìm đa thức A sao cho:

a. Tổng của A với đa thức  \(2{x^4} – 3{x^2}y + y + {y^4} + 3xy + {z^2}\) không chứa biến x.

b. Tổng của A với đa thức \(3x{y^2} + 3x{z^2} – 3xyz – 8{y^2}{z^2} + 10\) là một đa thức bậc 0.

Hướng dẫn giải:

a. \(A =  – 2{x^4} + 3{x^2}y – 3xz\)

Chú ý: Có vô số đa thức A thoả mãn yêu cầu đề bài.

b. \(A =  – 3x{y^2} – 3x{z^2} + 3xyz + 8{y^2}{z^2}\)

Chú ý: Có vô số đa thức A thoả mãn yêu cầu đề bài.

Bài tập minh họa


Bài 1:

Viết một đa thức bậc 3 có ba biến x, y, z và có bốn hạng tử.

Hướng dẫn giải:

Có nhiều cách viết, chẳng hạn:

\(\begin{array}{l}{x^3} + x{y^2} – x{z^2} + 1\\xyz + x{y^2} – {x^2}z + y{z^2}\\{x^3} + yz + 3{y^2} + 3…\end{array}\).


Bài 2:

Tính giá trị của các đa thức sau:

a. \(2{x^3} + {y^2} + 2xy – 3{y^3} + 2{x^3} + 3{y^3} – 3{x^3}\)  tại x=4; y=5.

b. \({x^6}{y^6} – {x^4}{y^4} + {x^2}y – xy + 1\)  tại x=1;y=-1.

Hướng dẫn giải:

a. Trước hết ta thu gọn đa thức:

\(\begin{array}{l}2{x^3} + {y^2} + 2xy – 3{y^3} + 2{x^3} + 3{y^3} – 3{x^3}\\ = (2{x^3} + 2{x^3} – 3{x^3}) + ({y^2}) + (2xy) + ( – 3{y^3} + 3{y^3})\\ = {x^3} + {y^2} + 2xy\end{array}\)

Thay x=2,y=5 vào ta được

\(\) \({4^3} + {5^2} + 2.4.5 = 64 + 25 + 40 = 129\).

b. Thay x=1,y=-1 vào đa thức ta được

\(\begin{array}{l}{( – 1)^6}.{( – 1)^6} – {( – 1)^4}.{( – 1)^4} + {( – 1)^2}.( – 1) – ( – 1).( – 1) + 1\\ = 1.1 – 1.1 + 1.1 – 1.1 + 1 = 1 – 1 + 1 – 1 + 1 = 1\end{array}\).


Bài 3:

Tìm các cặp giá trị x, y để các đa thức sau nhận thức sau nhận giá trị bằng 0.

a. x + 2y – 1.

b. x + y + 2.

Hướng dẫn giải:

a. Có nhiều đáp số chẳng hạn: (x=-1; y=1), (x=1; y=0).

b. Có nhiều đáp số chẳng hạn: (x=-1;y=-1), (x=-2;y=0).