Bài 5: Trường hợp bằng nhau thứ ba của tam giác: góc – cạnh – góc (gcg)

Tóm tắt lý thuyết

1.1. Chú ý khi vẽ tam giác biết một cạnh và hai góc kề

Để vẽ được tam giác ABC tổng các số đo của hai góc đã cho phải nhỏ hơn \({180^0}\)

1.2. Trường hợp bằng nhau góc – cạnh – góc

Nếu một cạnh và hai góc kề của tam giác  này bằng một cạnh và hai góc kề của tam giác kia thì hai tam giác đó bằng nhau.

Nếu \(\Delta ABC\) và \(\Delta A’B’C’\) có

\(\begin{array}{l}\widehat B = \widehat {B’}\\BC = B’C’\\\widehat C = \widehat {C’}\end{array}\)

Thì \(\Delta ABC = \Delta A’B’C’\,\,\,(c.g.c)\)

1.3. Hệ quả

Hệ quả 1: Nếu một cạnh góc vuông và một góc nhọn kề cạnh ấy của tam giác  vuông này bằng một cạnh góc vuông và một góc nhọn kề  cạnh ấy của tam giác  vuông kia thì tam giác vuông đó bằng nhau.

Hệ quả 2: Nếu cạnh huyền và một góc nhọn của tam giác vuông này bằng cạnh huyền và một góc nhọn của tam giác vuông kia thì tam giác vuông đó bằng nhau.


Ví dụ 1: Cho \(\Delta ABC\) có \(\widehat B = \widehat C\)

Tia phân giác của góc B cắt AC ở D. Tia phân giác của góc C cắt AB ở E. So sánh độ dài các đoạn thẳng BD và CE.

Giải

\(\Delta EBC\) và \(\Delta DCB\) có:

\(\widehat {EBC} = \widehat {DCB}\) (gt \(\widehat B = \widehat C\))

BC cạnh chung

\(\widehat {ECB} = \widehat {DBC}\,(gt\, = \frac{1}{2}\widehat B = \frac{1}{2}\widehat C)\)

Nên \(\Delta EBC = \Delta DCB\) (c.g.c)

Suy ra CE = BD.


Ví dụ 2: Cho tam giác ABC có AB = AC và \(\widehat B = \widehat C\). Lấy điểm D trên cạnh AB, điểm E trên cạnh AC sao cho AD = AE. Gọi I là giao điểm  của BE và CD. Chứng minh rằng: \(\Delta IBD = \Delta ICE.\)

Giải

Xét hai tam giác ABE và ACB chúng có:

AB = AC (giả thiết)

\(\widehat A\) chung

AD = AE (giả thiết)

Nên \(\Delta ABE = \Delta ACD\,\,(c.g.c)\)

Suy ra BE = CD và \(\widehat {ABE} = \widehat {ACD}\,\,{\,^{(1)}}\)

Ta có AB = AC và AD = AE  (giả thiết)

Nên BD = CE

\(\widehat B = \widehat C\) (giả thiết) \(^{(2)}\)

BC chung

Do đó \(\Delta BCD = \Delta CBE\)

Suy ra \(\widehat {BCD} = \widehat {CEB}\,{\,^{(3)}}\)

Từ (1), (2), (3) ta có:

\(\Delta IBD = \Delta ICE\,\,\,(g.c.g)\)


Ví dụ 3: Cho tam giác ABC. Trên cạnh BC lấy cac điểm D và E sao BD = CE. Qua D và E kẻ các đường thẳng song song với AB cắt cạnh AC theo thứ tự I và K.

Chứng minh rằng: DI + EK = AB

Giải

Qua D vẽ đường thẳng song song với AC cắt AB tại L.

Xét hai tam giác BDL và ECK có:

\({B_1} = {E_1}\) (cặp góc đồng vị do EK//AB)

BD=CE (giả thiết)

\({D_1} = C\) (cặp góc đồng vị do DK // CA)

\( \Rightarrow \Delta BDL = \Delta ECK\) (g.c.g)

\( \Rightarrow BL = EK\,\,{\,^{(1)}}\)

Mặt khác ta có:

AL = DI (theo bài 350) \(^{(2)}\)

Mà \(AB{\rm{ }} = {\rm{ }}AL{\rm{ }} + {\rm{ }}LB\,{\,^{(3)}}\)

Từ (1), (2) và (3) suy ra: AB = DI + EK

Bài tập minh họa


Bài 1: Cho tam giác ABC (AB=AC) và I là trung điểm của cạnh đáy BC. Dựng tia Cx song song với tia BA sao cho hai tia BA và Cx nằm trong hai nửa mặt phẳng đối nhau có bờ là đường thẳng BC. Lấy một điểm D nào đó trên AB. Gọi E là một điểm trên tia Cx sao cho BD = CE. Chứng minh rằng: Ba điểm D, I, E thẳng hàng.

Giải

Hai tam giác BID và CIE có:

BI = CI (I là trung điểm cạnh BC)

\(\widehat {IBD} = \widehat {ICE}\) (hai góc so le trong)

BD = CE (giả thiết)

Vậy \(\Delta BID = \Delta CIE\,\,\,(c.g.c)\)

Suy ra \(\widehat {BID} = \widehat {CIE}\)

Hai góc này bằng nhau, chiếm vị trí đối đỉnh, có hai cạnh tương ứng BI và CI nằm trên một đường thẳng.

Vậy ba điểm D, I, E thẳng hàng.


Bài 2: Cho tam giác ABC biết AB =3cm, BC=5cm và CA=4cm. Gọi đường thẳng qua A và song song với BC là a, đường thẳng qua B và song song với CA là b và đường thẳng C vào song song với AD là c. Gọi A’, B’, C’ theo thứ tự là giao điểm của các đường thẳng b và c, a và c,a và b. Tìm độ dài các cạnh của tam giác A’B’C’.

Giải

Xét tam giác ABC và CB’A. Chúng có: \(\widehat {BAC} = \widehat {B’CA’}\) (hai góc so le trong tạo bởi hai đường thẳng song song AB và CB’ với đường thẳng BC)

AC là cạnh chung.

\(\widehat {ACB} = \widehat {CAB’}\,\,(g.c.g)\)

Tương tự, \(\Delta ABC = \Delta BAC’ = A’CB.\) Như vậy các \(\Delta A’B’C’\) dài gấp đôi các cạnh tương ứng của \(\Delta ABC\)

Vậy

\(\begin{array}{l}A’B’ = 2AB = 6cm\\B’C’ = 2BC = 10cm\\C’A’ = 2CA = 8cm\end{array}\)


Bài 3: Tam giác ABC có \(\widehat A = {60^0},\,\) các tia phân giác BM và CN cắt nhau ở I. Biết rằng BC=4m. Tính tổng BN=CM.

Giải

Ta có: \(\widehat A = {60^0},\,\)nên trong tam giác ABC có:

\(\begin{array}{l}\widehat B + \widehat C = {180^0} – {60^0} = {120^0}\\ \Rightarrow \widehat {{B_1}} + \widehat {{C_1}} = {120^0}:2 = {60^0}\\ \Rightarrow \widehat {CIM} = \widehat {BIN} = {60^0}\end{array}\)

(góc ngoài tam giác BIC)

Kẻ tia phân giác ID của \(\Delta BIC\). Ta có:

\(\widehat {BID} = \widehat {DIC} = {60^0}\)

\(\Delta BIN\) và \(\Delta BID\) có:

\(\widehat {{B_2}} = \widehat {{B_1}}\)

BI: cạnh chung \(\widehat {BIN} = \widehat {BID} = {60^0}\)

Vậy \(\Delta BIN = BID\,\,(g.c.g)\)

Suy ra: BN = BD (1)

Chứng minh tương tự \(\Delta CIM = \Delta CID\,\,\,(g.c.g)\)

Suy ra: CM = CD (2)

Từ (1) và (2) suy ra: BN + CM = BD + CD = BC

Vậy BN + CM = BC.