Bài 5: Tính chất tia phân giác của một góc – Luyện tập

Tóm tắt lý thuyết

1.1. Định nghĩa 1 (định lý thuận)

Điểm nằm trên tia phân giác của một góc thì cách đều hai cạnh của góc đó.

Giả thiết:

* M nằm trên tia phân giác của góc xOy

* \(MA \bot Ox,\,MB \bot Oy\)

Kết luận:

* MA = MB

1.2. Định lý 2 (định lý đảo)

Điểm nằm bên trong một góc và cách đều hai cạnh của góc thì nằm trên tia phân giác của góc đó.

Giả thiết:

* M nằm trong góc xOy

* \(MA \bot Ox,\,\,MB \bot Oy\)

* MA = MB

Kết luận:

* M nằm trên tia phân giác của góc xOy.

Nhận xét: Tập hợp các điểm nằm bên trong một góc và cách đều hai cạnh của góc là tia phân giác của góc đó.


Ví dụ 1: Cho tam giác cân ABC (AB = AC). Các đường cao BH và CK cắt nhau tại I. Chứng minh AI là phân giác của góc BAC.

Giải

 

Ta có: \(\widehat {{C_1}} = \widehat {{B_1}}\) (cùng phụ \(\widehat A\))  (1)

Suy ra: \(\widehat {{C_2}} = \widehat {{B_2}}\)

Do đó \(\Delta IBC\) cân tại tại I nên IB = IC (2)

Từ (1) và (2) ta có:

\(\Delta IHC = \Delta IKB\) (cạnh huyền, góc nhọn)

Nên IH=IK

Vậy AI là phân giác của góc BAC.


Ví dụ 2: Cho góc vuông xOy và tam giác vuông cân ABC có \(\widehat A = {90^0}\), B thuộc Ox, C thuộc Oy, A và O thuộc hai nửa mặt phẳng đối nhau bờ BC. Chứng minh rằng OA là tia phân giác của góc xOy.

Giải

Vẽ \(AH \bot Ox,\,\,AK \bot Oy\)

Xét \(\Delta KAC\) và \(\Delta HAB\) có:

\(\widehat {KAC} = \widehat {HAB}\) (cùng phụ góc (CAH)

AC = AB (gt)

Nên \(\Delta KAC = \Delta HAB\) (cạnh huyền, góc nhọn)

Suy ra AK = AH

Vậy OA là tia phân giác của góc xOy.


Ví dụ 3: Cho \(\Delta ABC\) vuông tại A. Dựng ở nửa mặt phẳng bờ BC, không chứa A tam giác vuông cân CDB tại D. Chứng minh AD là phân giác củ góc BAC.

Giải

Ta có:

Hạ \(DP \bot AB,DQ \bot AC\)

Xét \(\Delta DBP\) và \(\Delta DCQ.\) Có \(\widehat P\) và \(\widehat Q = 1v\)

DB – DC (gt)

\(\widehat {BDP} = \widehat {CDQ}\) (góc có cạnh tương ứng vuông góc)

Vậy \(\Delta DBP = \Delta DCQ\,\,(g.c.g)\)

Suy ra DP = DQ

Điều này chứng tỏ D nằm trên phân giác của góc BAC, tức là AD là phân giác của góc BAC.

Bài tập minh họa


Bài 1: Chứng minh rằng trong một tam giác ba phân giác của hai góc ngoài và một góc trong không kề với chúng gặp nhau tại một điểm.

Giải

Gọi K là giao điểm hai đường phân giác góc ngoài tại B và C. Từ K hạ \(KD \bot BC,\,\,KE \bot AB\) và \(KF \bot AC.\)

Theo tính chất về đường phân giác ta có:

KD = KE và KD = KF

Suy ra KE = KF. Điều này chứng tỏ K nằm trên phân giác của góc BAC.

Vậy hai phân giác ngoài đỉnh B và C và phân giác trong tại đỉnh A của tam giác ABC cắt nhau tại một điểm.


Bài 2: Các phân giác ngoài của \(\Delta ABC\) cắt nhau tạo thành \(\Delta {\rm{EFG}}\).

a, Tính các góc của \(\Delta {\rm{EFG}}\)theo các góc của \(\Delta ABC\)

b. Chứng minh các phân giác trong của \(\Delta ABC\) đi qua các đỉnh E, F, G.

Giải

a. Kí hiệu như hình vẽ:

Trong \(\Delta GAB\) có: \(\widehat G = {180^0} – \frac{1}{2}(\widehat {xAB} + \widehat {yBA})\)

Mà \(\widehat {yAB} = \widehat B + \widehat C\) (góc ngoài tại A của \(\Delta ABC)\)

\(\widehat {yBA} = \widehat A + \widehat C\) (góc ngoài tại B của \(\Delta ABC)\)

Suy ra \(\widehat G = {180^0} – \frac{1}{2}(\widehat A + \widehat B + 2\widehat C)\)

\( = {180^0} – \frac{1}{2}({180^0} + \widehat C)\) vì \(\widehat A + \widehat B + \widehat C = {180^0}\)

\( = {90^0} – \frac{1}{2}\widehat C = \frac{{{{180}^0} – \widehat C}}{2} = \frac{{\widehat A + \widehat B + \widehat C – \widehat C}}{2}\)

Vậy \(\widehat G = \frac{{\widehat A + \widehat B}}{2}\)

Tương tự: \(\widehat F = \frac{{\widehat A + \widehat C}}{2}\)

\(\widehat E = \frac{{\widehat B + \widehat C}}{2}\)

b, Kẻ GH, GK, GM lần lượt vuông góc với AC, AB, BC.

Ta có: \(GH = GK\) (vì G thuộc phân giác \(\widehat {xAB}\) )

GK = GM (vì G thuộc phân giác \(\widehat {yBA}\))

Suy ra GH = GM, nên G nằm trên đường phân giác của \(\widehat {ACB}\) hay đường phân giác của góc C đi qua G.

Tương tự đường phân giác của góc B đi qua F, đường phân giác của góc A đi qua E.