Tóm tắt lý thuyết
1.1. Luỹ thừa của một số hữu tỉ
Cho \(x \in Q\) và \(n \in \mathbb{N}^*\). Luỹ thừa bậc n của x là tích của n thừa số bằng nhau, mỗi thừa số bằng x.
\({x^n} = \underbrace {x.x.x…x}_{n\,\,\,thua\,\,so}\) với \(x \in Q,n \in \mathbb{N}^*\).
Chú ý: Ta quy ước \({x^0} = 1,x \in Q\) và \(x \ne 0.\)
1.2. Tích và thương của hai luỹ thừa cùng cơ số
- \({x^m}.{x^n} = {x^{m + n}}\).
- \({x^m}:{x^n} = {x^{m – n}}\) với \(x \ne 0,\,m \ge n.\)
1.3. Luỹ thừa của một tích, một thương một luỹ thừa
- \({(x.y)^n} = {x^n}.{y^n}\)
- \({\left( {\frac{x}{y}} \right)^n} = \frac{{{x^n}}}{{{y^n}}}\) với \(y \ne 0\)
- \({({x^m})^n} = {x^{m.n}}\)
Chú ý:
a) Người ta cũng xét các luỹ thừa với số mũ nguyên âm và quy ước:
\({x^{ – n}} = \frac{1}{{{x^n}}}\,\,\,\,\,\,\,\,\,(x \ne 0)\)
Trong thực tế, người ta thường sử dụng luỹ thừa nguyên âm của 10 để viết các số nhỏ.
Ví dụ: \(0,0001 = \frac{1}{{10000}} = \frac{1}{{{{10}^4}}} = {10^{ – 4}}\)
b) Từ định nghĩa của luỹ thừa và theo quy tắc nhân các số hữu tỉ, ta suy ra:
- Luỹ thừa bậc chẵn của một số hữu tỉ (âm hoặc dương) luôn là một số dương
- Luỹ thừa bậc lẻ của một số hữu tỉ âm là một số âm. Luỹ thừa bậc lẻ của một số hữu tỉ dương là một số dương.
Ví dụ 1:
Tính \(A = {\left[ {{3^2}.{{\left( { – \frac{1}{2}} \right)}^3}} \right]^2}.\)
Hướng dẫn giải:
Ta có: \(A = {3^4}.{\left( { – \frac{1}{2}} \right)^6} = 81.\frac{1}{{64}} = \frac{{81}}{{64}}\).
Hoặc có thể tính như sau:
\(A = {\left[ {9.\left( { – \frac{1}{8}} \right)} \right]^2} = {\left( { – \frac{9}{8}} \right)^2} = \frac{{81}}{{64}}\).
Ví dụ 2:
Chứng minh đẳng thức \({(a + b)^2} = {a^2} + 2ab + {b^2}\).
Áp dụng, tính \(A = {(2{x^3} + 3{y^2})^2}.\)
Hướng dẫn giải:
Cách 1: Ta có \({(a + b)^2} = (a + b)(a + b)\)
Áp dụng tính chất phân phối của phép nhân các số hữu tỉ đối với phép cộng, ta có:
\((a + b)(a + b) = a(a + b) + b(a + b) = {a^2} + ab + ba + {b^2} = {a^2} + 2ab + {b^2}\).
Cách 2: Sử dụng cách đặt thừa số chung và đi từ vế phải, ta có:
\({a^2} + 2ab + {b^2} = {a^2} + ab + ab + {b^2} = a(a + b) + b(a + b) = (a + b)(a + b) = {(a + b)^2}\)
Áp dụng: \(A = {(2{x^3} + 3{y^2})^2} = {(2{x^3})^2} + 2(2{x^3})(3{y^2}) + {(3{y^2})^2}\)
\( \Rightarrow A = 4{x^6} + 12{x^3}{y^2} + 9{y^4}.\)
Ví dụ 3:
Tính \(A = \frac{{0,00018}}{{0,0000012}}.\)
Hướng dẫn giải:
Ta sử dụng luỹ thừa với số mũ âm, để có:
\(0,00018 = {18.10^{ – 5}}\)
\(0,0000012 = {12.10^{ – 7}}\)
Và được \(A = \frac{{{{18.10}^{ – 5}}}}{{{{12.10}^{ – 7}}}} = \frac{{18}}{{12}}.({10^{ – 5}}{.10^7}) \Rightarrow A = \frac{{18}}{{12}}{.10^2} = 150.\)
Bài tập minh họa
Bài 1:
Tìm tất cả các số tự nhiên n sao cho: \(2.32 \ge {2^n} > 8\).
Hướng dẫn giải:
Ta có: \(\begin{array}{l}2.32 = {2.2^5} = {2^6}\\8 = {2^3}\end{array}\).
Nên đề bài đã cho trở thành:
\(\begin{array}{l}{2^6} \ge {2^n} > {2^3}\\ \Rightarrow 6 \ge n > 3\\ \Rightarrow n \in \left\{ {4;\,\,5;\,\,6} \right\}\end{array}\).
Bài 2:
Chứng minh rằng với mọi số nguyên dương n thì: \({3^{n + 2}} – {2^{n + 2}} + {3^n} – {2^n}\) chia hết cho 10.
Hướng dẫn giải:
Ta có:
\(\begin{array}{l}{3^{n + 2}} – {2^{n + 2}} + {3^n} – {2^n}\\ = {3^{n + 2}} + {3^n} – \left( {{2^{n + 2}} + {2^n}} \right)\\ = {3^n}({3^2} + 1) – {2^n}({2^2} + 1)\\ = {3^n}.10 – {2^n}.5 = {3^n}.10 – {2^{n – 1}}.10\\ = ({3^n} – {2^{3 – n}}).10\,\,\, \vdots \,\,10\end{array}\).
Bài 3:
Tìm một số 5 chữ số, là bình phương của một số tự nhiên và được viết bằng các chữ số 0; 1; 2; 2; 2
Hướng dẫn giải:
Bình phương của một số tự nhiên không thể tận cùng bằng 2 hay 0. Vậy số phải tìm chỉ có thể tận cùng bằng 1. Chữ số 0 lại không thể ở vị trí hàng chục nghìn. Do đó ta chỉ cần xét ba số 22201, 22021, 20221.
Trong ba số này chỉ có một số thoả mãn điều kiện của đề bài: \(22201{\rm{ }} = {\rm{ }}{149^2}\).
Vậy số phải tìm là 22201.