Bài 5: Hàm số

Tóm tắt lý thuyết

1.1. Khái niệm hàm số

Nếu đại lượng y phụ thuộc vào đại lượng thay đổi x sao cho với mỗi giá trị của x ta luôn xác định được chỉ một giá trị tương ứng của y thì y được gọi là hàm số của x và x gọi là biến cố.

1.2. Chú ý

  • Khi x thay đổi mà y luôn nhận một giá trị thì y được gọi là hàm hằng.
  • Hàm số có thể được cho bằng công thức, bằng bảng,…
  • Để thuận tiện ta có thể kí hiệu công thức ở vế phải của hàm số bằng f(x), g(x),…Khi đó, thay cho câu “y nhận giá trị là 9 khi x bằng 3” ta viết f(3)=9.

Ví dụ 1:

Cho hàm số \(y = {x^2} + 3x + 2.\) Tính \(f( – 1),\,f(0),\,f\left( {\frac{1}{2}} \right)\).

Hướng dẫn giải:

Ta có \(f(x) = {x^2} + 3x + 2.\) Do đó

\(f( – 1) = {( – 1)^2} + 3( – 1) + 2 = 1 – 3 + 2 = 0\)

\(f(0) = {0^2} + 3.0 + 2 = 2\)

\(f\left( {\frac{1}{2}} \right) = {\left( {\frac{1}{2}} \right)^2} + 3.\frac{1}{2} + 2 = \frac{1}{4} + \frac{3}{2} + 2 = \frac{{1 + 6 + 8}}{4} = \frac{{15}}{4} = 3\frac{3}{4}\).


Ví dụ 2:

Cho các hàm số: \({f_1}(x) = 3{x^2},{f_2}(x) =  – 5x,\,{f_3}(x) = 2\)

a. Tính \({f_1}\left( {\frac{1}{3}} \right),{f_2}\left( {\frac{1}{5}} \right),{f_3}(3)\).

b. Tính \({f_1}(0) + {f_2}(1) + {f_3}( – 1)\).

Hướng dẫn giải:

a.

\(\begin{array}{l}{f_1}\left( {\frac{1}{3}} \right) = 3.{\left( {\frac{1}{3}} \right)^2} = 3.\frac{1}{9} = \frac{1}{3}\\{f_2}\left( {\frac{1}{5}} \right) =  – 5.\left( {\frac{1}{5}} \right) =  – 1\\{f_3}(3) = 2\end{array}\).

b. \({f_1}(0) + {f_2}(1) + {f_3}( – 1) = {3.0^2} + ( – 5).1 + 2 =  – 5 + 2 =  – 3\).


Ví dụ 3:

Cho hàm số f được cho bởi công thức sau: \(f(x) = \left\{ \begin{array}{l}x + 1\,\,\,\,\,\,\,neu\,\,x \ge 0\\1 – 2x\,\,\,neu\,\,\,x < 0\,\end{array} \right.\) . Tính \(f(2),\,\,f( – 2),\,f(0),\,\,f\left( { – \frac{1}{2}} \right)\).

Hướng dẫn giải:

Ta có:

2 > 0 nên f(2) = 2 + 1 = 3

-2 < 0 nên f(-2) = 1 – 2.(-2) = 5

f(0)= 0 + 1 = 1

\( – \frac{1}{2} < 0\) nên \(f\left( { – \frac{1}{2}} \right) = 1 + 2.\left( { – \frac{1}{2}} \right) = 2\).


Ví dụ 4:

Hàm số y = f(x) được cho bởi công thức:

a. \(y = \frac{{10}}{x}\).                    b. \(y = 2x\).

Hãy tìm các giá trị của x sao cho vế phải của công thức là biểu thức có nghĩa.

Hướng dẫn giải:

a. Với \(y = \frac{{10}}{x},\)để cho vế phải của công thức có nghĩa thì vế phải có mẫu khác 0. Vậy \(x \ne 0.\)

b. Với công thức\(y = 2x\), vế phải của công thức luôn có nghĩa với mọi giá trị của x. Vậy \(x \in R\).

Bài tập minh họa


Bài 1:

Cho hàm số y =-3x. Tìm các giá trị của x sao cho:

a. y nhận giá trị dương.

b. y nhận giá trị âm.

Hướng dẫn giải:

a. y nhận giá trị dương thì ta có:

y = -3x > 0 suy ra x < 0.

b. y nhận giá trị âm với x > 0.


Bài 2:

Cho hàm số f được cho bởi các công thức như sau:

\(f(x) = \left\{ \begin{array}{l}3x – 1\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,voi\,\,\,\,\,\,x \ge \frac{1}{3}\\1 – 3x\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,voi\,\,\,\,\,\,x < \frac{1}{3}\end{array} \right.\,\,\,\,\,\,\)

a. Hàm số f có thể được viết gọn bằng biểu thức nào?

b. Tính \(f( – 2),f(2),f\left( { – \frac{1}{4}} \right),f\left( {\frac{1}{4}} \right)\).

Hướng dẫn giải:

a. Biểu thức xác định hàm số f. Có thể được viết gọn như sau: f(x)=|3x -1|.

b.

\(\begin{array}{l}f( – 2) = \left| {3.( – 2) – 1} \right| = \left| { – 7} \right| = 7\\f(2) = \left| {3.2 – 1} \right| = \left| 5 \right| = 5\\f\left( { – \frac{1}{4}} \right) = \left| {3.\left( { – \frac{1}{4}} \right) – 1} \right| = \left| { – 1\frac{3}{4}} \right| = 1\frac{3}{4}\\f\left( {\frac{1}{4}} \right) = \left| {3.\frac{1}{4} – 1} \right| = \left| { – \frac{1}{4}} \right| = \frac{1}{4}\end{array}\)


Bài 3:

Cho hàm số y = ax. Chứng minh rằng:

a. Với các số \({x_1},{x_2}\) là hai giá trị của x ta có \({y_1},{y_2}\)là hai giá trị tương ứng của y thì \(f({x_1} + {x_2}) = f({x_1}) + f({x_2})\).

b. Với \(k \in Q\) thì f(kx) =k.f(x) với mọi \(x \in Q\).

Hướng dẫn giải:

a. Ta có : \(f({x_1} + {x_2}) = a({x_1} + {x_2}) = a{x_1} + a{x_2}\)

Mà \(f({x_1}) = a{x_1},\,\,f({x_2}) = a{x_2}\,\,\).

Do đó \(f({x_1} + {x_2}) = f({x_1}) + f({x_2})\).

b. Ta có \(f(kx) = a(kx) = (ak)x\)

\( = k({\rm{ax}}) = kf(x)\).