Bài 3: Quan hệ giữa ba cạnh của một tam giác Bất đẳng thức tam giác – Luyện tập

Tóm tắt lý thuyết

1.1. Bất đẳng thức tam giác

Định lý: Trong một tam giác, tổng độ dài hai cạnh bất kì bao giờ cũng nhỏ hơn độ dài cạnh còn lại.

1.2. Hệ quả

* Hệ quả: Trong một tam giác, hiệu độ dài hai cạnh bất kì bao giờ cũng nhỏ hơn độ dài cạnh còn lại.

* Nhận xét: Trong một tam giác, độ dài một cạnh bao giờ cũng lớn hơn hiệu và nhỏ hơn tổng các độ dài của hai cạnh còn lại

AB – AC < BC < AB + AC


Ví dụ 1: Một tam giác có hai cạnh dài 2cm và 10cm. Tìm số đo cạnh thứ ba, biết rằng số đo ấy là một số nguyên tố.

Giải

Giả sử cạnh thứ ba dài x(cm). Áp dụng bất đẳng thức trong tam giác ta c\(10{\rm{ }} – {\rm{ }}2 < x < 10 + 2 \Rightarrow 8 < x < 12\)

Vì x là số nguyên tố lớn hơn 8 và nhỏ hơn 12 nên x = 11

Vậy số đo cạnh thứ ba là 11cm.


Ví dụ 2:  Hãy tìm độ dài của cạnh của một tam giác, biết cạnh thứ nhất dài gấp rưỡi cạnh thư hai, cạnh thứ nhất dài gấp rưỡi cạnh thứ ba và nửa chu vi tam giác bằng 9,5cm.

Giải

Gọi độ dài cạnh thứ ba là x (cm)

Theo độ dài, độ dài cạnh thứ hai là \(\frac{{3x}}{2}\,(cm)\)

Độ dài cạnh thứ nhất là \(\frac{3}{2}.\frac{{3x}}{2} = \frac{{9x}}{4}\,(cm)\)

Bất đẳng thức tam giác được  thoả vì \(x + \frac{3}{2}x = \frac{{5x}}{2} > \frac{{9x}}{4}\)

Chu vi của tam giác là \(x + \frac{{19x}}{8} + \frac{{9x}}{4} = \frac{{19x}}{4}\)

Theo đề bài ta có: \(\frac{{19x}}{8} = 9,5 \Rightarrow x = 4\)

Vậy độ dài ba cạnh của tam giác là: 4cm, 6cm, 9cm.


Ví dụ 3: Cho \(\Delta ABC,M\) là một điểm tuỳ ý ở miền trong \(\Delta ABC\). Chứng minh: \(MB + MC < AB + AC\)

Giải

Vì M thuộc miền trong \(\Delta ABC\) nên tia BM thuộc miền trong \(\widehat B\), nó cắt cạnh AC tại D.

D nằm giữa A và C, M nằm giữa B và D.

Trong \(\Delta BAD\) có:

\(BM + MD < BA + AD\,{\,^{(1)}}\)

Trong \(\Delta MDC\) có: \(MC – MD < DC{\,^{\,(2)}}\)

Cộng 2 vế của (1) và (2) với nhau ta được:

BM + MC < BA + AD + DC

Hay BM + MC < BA + AC.

Bài tập minh họa


Bài 1: Cho \(\Delta ABC\)có AC > AB. Nối A với trung điểm M của BC. Trên tia AM lấy điểm E sao cho M là trung điểm của đoạn  thẳng AE. Nối C với C.

a. So sánh hai đoạn thẳng AB và CE.

b. Chứng minh: \(\frac{{AC – AB}}{2} < AM < \frac{{AC + AB}}{2}\)

Giải

a. Ta có:

\(\widehat {AMB}\) và \(\widehat {EMC}\) là 2 góc đối đỉnh nên \(\widehat {AMB} = \widehat {EMC}\)

MA = ME (M là trung điểm AE)

MB = MC (M là trung điểm BC)

Nên \(\Delta AMB = \Delta EMC\,\,(c.g.c)\)

Suy ra AB = CE.

b. Trong \(\Delta ACE\) có:

\(AC – CE < AE < AC + CE\)

Hay \(AC – AB < AE < AC + CB\,\) (vì AB = CE)

Hay \(\frac{{AC – AB}}{2} < \frac{{AE}}{2} < \frac{{AC + AB}}{2}\)

Vậy: \(\frac{{AC – AB}}{2} < AM < \frac{{AC + AB}}{2}\) vì\(AM = \frac{{AE}}{2}\)


Bài 2: Cho điểm D nằm trên cạnh BC của \(\Delta ABC\). Chứng minh rằng:

\(\frac{{AB + AC – BC}}{2} < AD < \frac{{AB + AC + BC}}{2}\)

Giải

Trong \(\Delta ABD\) ta có:

\(AB – BD < AD < AB + B{D^{\,\,(1)}}\)

Trong\(\Delta ACD\) ta có:

\(AC – DC < AD < AC + DC\,{\,^{(2)}}\)

Cộng (1) và (2) ta được:

AB + AC – BD – DC < 2AD < AB + AC + BD + DC

Hay AB + AC – BC < 2AD < AB + AC + BC

Vậy \(\frac{{AB + AC – BC}}{2} < AD < \frac{{AB + AC + BC}}{2}\)


Bài 3: Cho điểm M nằm trong \(\Delta ABC.\) Chứng minh rằng tổng MA + MB + MC lớn hơn nửa chu vi nhưng nhỏ hơn chu vi của \(\Delta ABC.\)

Giải

Ta có:

Trong \(\Delta MAB\)

MA + MB > AB

Trong \(\Delta MBC:\)

MB + MC > BC

Trong \(\Delta MCA:\)

MC + MA > CA

Nên:  2(MA+MB+MC) > AB + BC + CA

Suy ra \(MA{\rm{ }} + {\rm{ }}MB{\rm{ }} + {\rm{ }}MC > \frac{1}{2}(AB + BC + CA)\,\,(1)\)

Ta lại có, theo kết quả bài 410, thì trong \(\Delta ABC\) có:

MB + MC > AB + AC

Tương tự: MA + MB < AC + BC

MA + MC < AB + BC

Nên: 2(MA + MB + MC) < 2(AB + BC + CA)

Suy ra: MA + MB + MC < AB + BC + CA (2)

Từ (1) và (2) ts suy ra:

\(\frac{1}{2}(AB + BC + CA) < MA + MB + MC < AB + BC < CA\)