Bài 3: Đại lượng tỉ lệ nghịch

Tóm tắt lý thuyết

1.1. Định nghĩa

Đại lượng y gọi là tỉ lệ nghịch với đại lượng x nếu y liên hệ với x theo công thức

\(y = \frac{a}{x}\) hoặc xy = a

Trong đó a là một hằng số khác 0.

1.2. Tính chất

  • Tích của một giá trị bất kì của đại lượng này với giá trị tương ứng của đại lượng kia luôn là một hằng số, bằng hệ số tỉ lệ

\({x_1}{y_1} = {x_2}{y_2} = …. = {x_i}{y_i} = …. = a.\)

  • Tỉ số hai giá trị bất kì của đại lượng này thì bằng nghịch đảo của tỉ số hai giá trị tương ứng của đại lượng kia

\(\frac{{{x_m}}}{{{x_n}}} = \frac{{{y_n}}}{{{y_m}}}.\)

Chú ý:

Khi ta có y tỉ lệ nghịch với x theo hệ số tỉ lệ a thì y tỉ lệ thuận với \(\frac{1}{x}\) theo hệ số tỉ lệ a.


Ví dụ 1:

Chia số 84 thành phần tỉ lệ nghịch với các số 3; 5; 6.

Hướng dẫn giải:

Gọi x, y, z là ba phần, theo thứ tự, tỉ lệ nghịch với 3,5, 6. Ta có:

\(\frac{x}{{\frac{1}{3}}} = \frac{y}{{\frac{1}{5}}} = \frac{z}{{\frac{1}{6}}}\) và x + y + z = 84.

Theo tính chất của dãy tỉ số bằng nhau, ta có:

\(\frac{x}{{\frac{1}{3}}} = \frac{y}{{\frac{1}{5}}} = \frac{z}{{\frac{1}{6}}} = \frac{{x + y + z}}{{\frac{1}{3} + \frac{1}{5} + \frac{1}{6}}} = \frac{{84}}{{\frac{{21}}{{30}}}} = 120\)

Vậy:

\(\begin{array}{l}\frac{x}{{\frac{1}{3}}} = 120 \Rightarrow x = 120.\frac{1}{3} = 40\\\frac{y}{{\frac{1}{5}}} = 120 \Rightarrow y = 120.\frac{1}{5} = 24\\\frac{z}{{\frac{1}{6}}} = 120 \Rightarrow z = 120.\frac{1}{6} = 20\end{array}\)

Chú ý: Để tránh phải tiến hành các phép cộng phân số và đưa bài toán về tìm các số tỉ lệ thuận các số nguyên, ta có thể nhân các số \(\frac{1}{3};\frac{1}{5};\frac{1}{6}\) với BCNN (3,5,6) = 30 và được:

\(\frac{x}{{10}} = \frac{y}{6} = \frac{z}{5} = \frac{{x + y + z}}{{21}} = \frac{{84}}{{21}} = 4\)

\(\begin{array}{l}\frac{x}{{10}} = 4 \Rightarrow x = 40\\\frac{y}{6} = 4 \Rightarrow y = 24\\\frac{z}{5} = 4 \Rightarrow z = 20\end{array}\).


Ví dụ 2:

Một người đi từ thành phố A đến thành phố B hết 4 giờ. Khi đi từ B trở về A, người đó tăng vận tốc lên thêm 2 km mỗi giờ, nhờ vậy thời gian lúc về ít hơn thời gian lúc đi 48 phút. Tính đoạn đường AB.

Hướng dẫn giải:

Thời gian ông ta đi từ B về A là:

t2 = 4 giờ – 48 phút = 3 giờ 12 phút = \(3\frac{1}{5}\) giờ = \(\frac{{16}}{5}\) giờ.

Gọi vận tốc lúc đi là v km/h thì lúc về là (v + 2) km/h.

Quãng đường đi không đổi nên vận tốc và thời gian đi là hai đại lượng tỉ lệ nghịch với nhau, ta có: \(\frac{v}{{v + 2}} = \frac{{\frac{{16}}{5}}}{4}.\)

Từ đây ta tính ra v = 8 km/h và đoạn đường AB là 32 km.


Ví dụ 3:

Cho biết x và y là hai đại lượng tỉ lệ nghịch và khi x = -3, y = 6.

a. Tìm hệ số tỉ lệ nghịch của y đối với x.

b. Hãy biểu diễn y theo x

c. Tính giá trị của y khi x = -15, x=6.

Hướng dẫn giải:

a. Vì x và y là hai đại lượng tỉ lệ nghịch nên ta có công thức tổng quát

\(y = \frac{k}{x}\)

Thay x = -3, y=6 vào ta được:

\(6 = \frac{k}{{ – 3}} \Rightarrow k =  – 18\).

b. Với k =-18 ta có \(y = \frac{{ – 18}}{x}\).

c. Khi x = -15 thì \(y = \frac{{ – 18}}{{ – 15}} = 1,2\)

Khi x = 6 thì \(y = \frac{{ – 18}}{6} =  – 3\).

Bài tập minh họa


Bài 1: 

Cho biết đại lượng tỉ lệ nghịch với đại lượng x theo hệ số tỉ lệ x \((k \ne 0)\). Hỏi đại lượng x có tỉ lệ nghịch với đại lượng y không? Nếu có hệ số tỉ lệ là bao nhiêu?

Hướng dẫn giải:

Nêu y tỉ lệ nghịch với x theo hệ số tỉ lệ k thì ta có \(y = \frac{k}{x}\)

Từ đó ta có \(x = \frac{k}{y}\)

Do đó x cũng tỉ lệ nghịch với y theo hệ số tỉ lệ k.


Bài 2:

Cho ba đại lượng x, y, z. Hãy tìm mối liên hệ giữa các đại lượng x, z biết:

a. x và y tỉ lệ nghịch, y và z cũng tỉ lệ nghịch

b. x và y tỉ lệ nghịch, y và z tỉ lệ thuận

c. x và y tỉ lệ thuận, y và z tỉ lệ nghịch

Hướng dẫn giải:

a. x và y tỉ lệ nghịch nên xy = a \((a \ne 0)\) (1)

y và z tỉ lệ nghịch nên yz = b \((b \ne 0)\) (2)

Từ (2) suy ra \(y = \frac{b}{z}\) thay vào (1) được.

\(\begin{array}{l}x.\frac{b}{z} = a\\x = \frac{a}{b}.z\end{array}\)

Vậy x tỉ lệ thuận với z theo hệ số tỉ lệ \(\frac{a}{b}\)

b. x và y tỉ lệ nghịch \( \Rightarrow x.y = a\,\,(a \ne 0)\)

y và z tỉ lệ thuận \( \Rightarrow y = bz\,\,(b \ne 0)\)

Từ đó \(xy = x.bz = a \Rightarrow xz = \frac{a}{b}\)

Vậy x và z tỉ lệ nghịch, hệ số là \(\frac{a}{b}\)

c. x và y tỉ lệ thuận \( \Rightarrow x = ay\)

y và z tỉ lệ nghịch \( \Rightarrow yz = b\,\,\,(b \ne 0)\)

Từ đó \(x = ay = a.\frac{b}{z} \Rightarrow xz = ab\)

Vậy x và z tỉ lệ nghịch, hệ số là ab.


Bài 3:

Cho biết x, y là hai đại lượng tỉ lệ nghịch \({x_1},{x_2}\) là hai giá trị của \(x;{y_1},{y_2}\) là hai giá trị tương ứng của y.

a. Tìm \({x_1},{x_2}\) biết \(2{x_1} = 5{y_1}\) và \(2{x_1} – 3{y_1} = 12\)

b. \({x_1} = 2{x_2},{y_2} = 10.\) Tính \({y_1}\).

Hướng dẫn giải:

a. \(2{x_1} = 5{y_1} \Rightarrow \frac{{{x_1}}}{5} =  \frac{{{y_1}}}{5}\)

\( \Rightarrow \frac{{{x_1}}}{5} = \frac{{{y_1}}}{2} = \frac{{2{x_1} – 3{y_1}}}{{10 – 6}} = \frac{{12}}{4} = 3\)

Vậy \({x_1} = 15,{y_1} = 6\)

b. Ta có  \({x_1}.{y_1} = {x_2}.{y_2}\)

mà \({x_1} = 2{x_2};{y_2} = 10\)

nên \(2{x_2}{y_1} = {x_2}.10\)

hay \({y_1} = \frac{{10{x_2}}}{{2{x_2}}} = 5\)

Vậy \({y_1} = 5\).