Bài 2: Hai đường thẳng vuông góc

Tóm tắt lý thuyết

1.1. Hai đường thẳng vuông góc

Hai đường thẳng cắt nhau tạo thành những góc vuông là hai đường thẳng thẳng vuông góc.

Kí hiệu: \(xx’ \bot yy’\).

1.2. Tính chất

Có một và chỉ một đường thẳng a’ đi qua điểm O cho trước và vuông góc với đường thẳng a cho trước.

1.3. Đường trung trực của đoạn thẳng

Đường thẳng đi qua trung điểm của đoạn thẳng và vuông góc với đoạn thẳng được gọi là đường trung trực của đoạn thẳng ấy.

 

xy là đường trung trực của đoạn thẳng AB.

Ví dụ 1:

Cho AOM có số đo bằng \({120^0}\). Vẽ các tia OB, OC nằm trong góc AOM sao cho \(OB \bot OA,OC \bot OM.\) Tính số đo góc BOC.

Hướng dẫn giải:

OB nằm giữa OA, OM mà:

\(\begin{array}{l}\widehat {AOB} = {90^0}\\\widehat {AOM} = {120^0}\end{array}\).

Vậy \(\widehat {BOM} = {120^0} – {90^0} = {30^0}\).

\(\begin{array}{l}\widehat {MOB} = {30^0}\\\widehat {MOC} = {90^0}\end{array}\).

Vậy OB nằm giữa OM, OC

\(\widehat {BOC} = {90^0} – {30^0} = {60^0}\).


Ví dụ 2:

Cho góc xOy tù, ở miền trong góc ấy dựng các tia Oz và Ot sao cho Oz vuông góc với Ox, Ot vuông góc Oy. Tính tổng số đo của hai góc xOy và zOt.

Hướng dẫn giải:

Ta có:

Ox vuông góc với Oz nên \(\widehat {xOz} = {90^0}\)

Ot vuông góc với Oy nên \(\widehat {tOy} = {90^0}\)

Nên:

\(\widehat {xOy} + \widehat {zOt} = \widehat {tOy} + \widehat {xOt} + \widehat {zOt}\)

\( = \widehat {tOy} + \widehat {xOz} = {180^0}\).


Ví dụ 3:

Cho góc aOb có số đo bằng \({100^0}\). Dựng ở ngoài góc ấy hai tia Oc và Od theo thứ tự vuông góc với Oa và Ob. Gọi Ox là tia phân giác của góc aOb và Oy là tia phân giác của góc cOd.

a. Chứng minh rằng hai tia Ox và Oy đối nhau.

b. Tìm số đo các góc xOc và bOy.

Hướng dẫn giải:

Ta có: \(\widehat {aOb} = {100^0},\,\,\widehat {aOc} = {90^0},\widehat {bOd} = {90^0}\)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow \widehat {cOd} = {360^0} – (\widehat {aOb} + \widehat {aOc} + \widehat {bOd)}\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = \,{360^0}\, – ({100^0} + {90^0} + {90^0}) = {360^0} – {280^0} = {80^0}.\end{array}\)

Ox là tia phân giác của \(\widehat {aOb}\) nên \(\widehat {xOa} = \frac{1}{2}\widehat {aOb} = \frac{1}{2}{.100^0} = {50^0}\)

Oy là tia phân giác của \(\widehat {cOy}\) nên \(\widehat {cOy} = \frac{1}{2}\widehat {cOd} = \frac{1}{2}{.80^0} = {40^0}\)

Do đó  \(\widehat {xOy} = \widehat {xOa} + \widehat {aOc} + \widehat {cOy}\)

\( = {50^0} + {90^0} + {40^0}\)

Hay \(\widehat {xOy} = {180^0}\)

Suy ra Ox và Oy là hai tia đối nhau.

b. Ta có:

\(\widehat {xOc} = \widehat {xOa} + \widehat {aOc} = {50^0} + {90^0} = {140^0}\).

\(\widehat {bOy} = \widehat {bOd} + \widehat {dOy} = {90^0} + {40^0} = {130^0}\).

Bài tập minh họa


Bài 1:

Chứng tỏ rằng hai tia phân giác của hai góc kề bù vuông góc với nhau.

Hướng dẫn giải:

Gọi 2 góc kề bù là xOy và yOz, có 2 tia phân giác lần lượt là Om và On.

Phải chứng tỏ \(Om \bot On.\)

Ta có:

\(\begin{array}{l}\widehat {mOy} = \frac{1}{2}\widehat {xOy}\,\,\,(gt)\\\widehat {yOn} = \frac{1}{2}\widehat {yOz\,}\,(gt)\end{array}\)

Vì Oy nằm giữa 2 tia Om, On nên

\(\widehat {mOn} = \widehat {mOy} + \widehat {yOn} = \frac{1}{2}\widehat {xOy} + \frac{1}{2}\widehat {yOz} = \frac{1}{2}(\widehat {xOy} + \widehat {yOz})\)

\( = \frac{1}{2}{.180^0} = {90^0}\) (2 góc kề bù)

Suy ra \(Om \bot On.\)


Bài 2:

Cho góc tù AOB. Trong đo dựng các tia OC, OD theo thứ tự vuông góc với OA, OB.

a. So sánh các góc \(\widehat {AOD}\) và \(\widehat {BOC}\).

b. Gọi OM là tia phân giác của góc COD. Xét xem tia OM có phải là tia phân giác của góc AOB hay không?

Hướng dẫn giải:

a. Ta có: \(OC \bot OA\) nên \(\widehat {AOC} = {90^0}\)

\(OD \bot OB\) nên \(\widehat {BOD} = {90^0}\) các tia OC, OD ở trong góc AOB nên:

\(\begin{array}{l}\widehat {AOD} = \widehat {AOB} – \widehat {BOD} = \widehat {AOB} – {90^0}\\\widehat {BOC} = \widehat {AOB} – \widehat {AOC} = \widehat {AOB} – {90^0}\\ \Rightarrow \widehat {AOD} = \widehat {BOC}\end{array}\)

b. Vì \(\widehat {AOC} < \widehat {AOB}\) (góc vuông nhỏ hơn góc tù)

\( \Rightarrow \) OC nằm giữa hai tia OA và OB.

\(\widehat {BOD} < \widehat {AOB}\) (góc vuông nhỏ hơn góc tù)

\( \Rightarrow \)OD nằm giữa hai tia OA và OB

\( \Rightarrow \)OC và OD nằm giữa hai tia OA và OD.

\( \Rightarrow \)phân giác OM của góc \(\widehat {COD}\) nằm giữa hai tia OA và OB (*)

Mặt khác: Do OM là phân giác của góc \(\widehat {COD}\) nên \(\widehat {MOC} = \widehat {MOD}.\)

Theo chứng minh trên, ta có:

\(\widehat {BOC} = \widehat {AOD} \Rightarrow \widehat {MOC} + \widehat {BOC} = \widehat {MOD} + \widehat {AOD}\,\,\,hay\,\,\,\widehat {MCB} = \widehat {MOA}\,(**)\)

Từ (*) và (**)\( \Rightarrow \)OM là tia phân giác góc AOB.