Bài 11: Số vô tỉ. Khái niệm về căn bậc hai

Tóm tắt lý thuyết

1.1. Số vô tỉ:

Số vô tỉ là số viết được dưới dạng số thập phân vô hạn, không tuần hoàn. Tập hợp các số vô tỉ được kí hiệu là I

1.2. Khái niệm về căn bậc hai:

Định nghĩa: Căn bậc hai có một số a không âm là số x sao cho \({x^2} = a\)

* Số dương a có đúng hai căn bậc hai: một số dương kí hiệu là \(\sqrt a \), một số âm kí hiệu là \( – \sqrt a \)

* Số 0 chỉ có một căn bậc hai là số 0 viết là \(\sqrt 0  = 0\)


Ví dụ 1:

Trong các số sau, số nào có căn bậc hai? Tìm căn bậc hai của chúng nếu có: \(0; – 16;\,\,{3^2} + \,{4^2};\,{5^2} – {4^2};{( – 5)^2}\)

Hướng dẫn giải:

Một số không âm mới có căn bậc hai. Do đó trong các số đã cho các số có căn bậc hai là \(0;{3^2} + \,{4^2};\,{5^2} – {4^2};{( – 5)^2}\)

Căn bậc hai của chúng ta là:

Với số 0: \(\sqrt 0  = 0\)

Với số \({3^2} + \,{4^2} = 9 + 16 = 25 = {5^2}\) nên \(\sqrt {{3^2} + {4^2}}  = 5; – \sqrt {{3^2} + {4^2}}  =  – 5\)

Với số \({5^2} – {4^2} = 25 – 16 = 9 = {3^2}\) nên \(\sqrt {{5^2} – {4^2}}  = 3; – \sqrt {{5^2} – {4^2}}  =  – 3\)

Với số \(\sqrt {{{( – 5)}^2}}  = 5; – \sqrt {{{( – 5)}^2}}  =  – 5\)


Ví dụ 2:

Các số sau đây là căn bậc hai của số nào?

\(2;\, – 5;\,\,\,25;\,\,0;\,\,\sqrt 5 \)

Hướng dẫn giải:

2 là căn bậc hai của 4

-5 là căn bậc hai của 25

25 là căn bậc hai của 625

0 là căn bậc hai của 0

\(\sqrt 5 \) là căn bậc hai của  5


Ví dụ 3:

Tìm căn bậc hai không âm của các số sau:

a. 25           b. 2500               c. \({\left( { – 5} \right)^2}\)   d. 0,49

e. 0,0121            g. 10000

Hướng dẫn giải:

a. \(\sqrt {25}  = 5\)                b. \(\sqrt {2500}  = 50\)                   c. \(\sqrt {{{( – 5)}^2}}  = \sqrt {25}  = 5\)

d. \(\sqrt {0,49}  = 0,7\)          e. \(\sqrt {0,0121}  = 0,11\)              g.\(\sqrt {10000}  = 100\)

Bài tập minh họa


Bài 1:

Tính:

a. \(\sqrt {0,04}  + \sqrt {0,25} \)               b. \(5,4 + 7\sqrt {0,36} \)

c.\(0,5.\sqrt {100}  – \sqrt {\frac{4}{{25}}} \)               d. \(\left( {\sqrt {1\frac{9}{{16}}}  – \sqrt {\frac{9}{{16}}} } \right):5\)

Hướng dẫn giải:

a. \(\sqrt {0,04}  + \sqrt {0,25}  = \sqrt {0,{2^2}}  + \sqrt {0,{5^2}}  = 0,2 + 0,5 = 0,7\)

b. \(5,4 + 7\sqrt {0,36}  = 5,4 + 6\sqrt {0,{6^2}}  = 5,4 + 7.0,6 = 5,4 + 4,2 = 9,6\)

c. \(0,5.\sqrt {100}  – \sqrt {\frac{4}{{25}}}  = 0,5.\sqrt {{{10}^2}}  – \sqrt {{{\left( {\frac{2}{5}} \right)}^2}}  = 0,5.10 – \frac{2}{5} = 5 – \frac{2}{5} = \frac{{23}}{5}\)

d. \(\left( {\sqrt {1\frac{9}{{16}}}  – \sqrt {\frac{9}{{16}}} } \right):5 = \left( {\sqrt {\frac{{25}}{{16}}}  – \sqrt {\frac{9}{{16}}} } \right):5 = \left( {\sqrt {{{\left( {\frac{5}{4}} \right)}^2}}  – \sqrt {{{\left( {\frac{3}{4}} \right)}^2}} } \right):5\)

\( = \left( {\frac{5}{4} – \frac{3}{4}} \right):5 = \frac{1}{2}:5 = \frac{1}{{10}}\).


Bài 2:

Tính:

a. \(\sqrt {{{(\sqrt 2  – 1)}^2}} \)      b. \(\sqrt {{{(1 – \sqrt 3 )}^2}} \)     c.\(\sqrt {{{(\sqrt 2  – \sqrt 3 )}^4}} \)

d. \(\sqrt {{{(a – 4)}^4}} \)               e. \(\sqrt {{{(a + 3)}^2}} \)với a < – 3

Hướng dẫn giải:

a. \(\sqrt {{{(\sqrt 2  – 1)}^2}}  = \left| {\sqrt 2  – 1} \right| = \sqrt 2  – 1\)

b. \(\sqrt {{{(1 – \sqrt 3 )}^2}}  = \left| {1 – \sqrt 3 } \right| = \sqrt 3  – 1\)

c. \(\sqrt {{{(\sqrt 2  – \sqrt 3 )}^4}}  = \left| {{{(\sqrt 2  – \sqrt 3 )}^2}} \right| = {(\sqrt 2  – \sqrt 3 )^2}\)

d. \(\sqrt {{{(a – 4)}^4}}  = \left| {{{(a – 4)}^2}} \right| = {(a – 4)^2}\)

e. \(\sqrt {{{(a + 3)}^2}}  = \left| {a + 3} \right|\)

Với a < -3 thì a + 3 < 0 do đó:

\(\sqrt {{{(a + 3)}^2}}  =  – (a + 3) =  – a – 3\).


Bài 3:

Khi viết các số 1,2,3,4,5,6,7,8,9 từ 1 đến 9 và đến 1 ta được số A=1234567898654321.

Chứng tỏ rằng: \(\sqrt A  = 111\,\,\,111\,\,\,111\).

Hướng dẫn giải:

Ta tính  (111 111  111)= 1234567898654321

Vậy \(\sqrt A  = 111\,\,111\,\,\,111\).