Bài 1: Tổng ba góc của một tam giác

Tóm tắt lý thuyết

1.1. Tổng ba góc của một tam giác

Định lý: Tổng ba góc của một tam giác bằng \({180^0}\)

1.2. Áp dụng vào tam giác vuông

Định lý: Trong một tam giác vuông hai góc nhọn phụ nhau.

1.3. Góc ngoài của tam giác

Định nghĩa: Góc ngoài của một tam giác là góc kề bù với một góc của tam giác ấy.

Định lý: Mỗi góc ngoài của một tam giác bằng tổng hai góc trong không kề với nó.

Nhận xét: Góc ngoài của tam giác bằng tổng của hai góc trong không kề với nó.


Ví dụ 1: Trong các hình a, b, c hình nào ghi số đo sai?

Giải

Tổng ba góc của tam giác trong hình a là:

\({110^0} + {45^0} + {30^0} = {185^0} \ne {180^0}\)

Nên hình a ghi số đo sai.

Tổng ba góc của tam giác trong hình b là:

\({90^0} + {48^0} + {42^0} = {180^0}\)

Nên hình b ghi số đo đúng.

Tổng hai góc trong của tam giác trong hình c là \({60^0} + {50^0} = {110^0}\) khác với góc ngoài, không kề với chúng là \({120^0}\)

Vậy hình c ghi số đo sai.


Ví dụ 2: Cho điểm O trong tam giác ABC. Chứng minh rằng \(\widehat {BOC} > \widehat A\)

Giải

Kéo dài BO cắt AC tại D.

Ta có \(\widehat {BOC} = \widehat {BDC} + \widehat {DCO}\)

(Vì \(\widehat {BOC}\) là góc ngoài của \(\Delta ODC\))

Mặt khác:

\(\widehat {BDC} = \widehat A + \widehat {ABD}\) (vì \(\widehat {BDC}\) là góc ngoài của \(\Delta ABD\))

Suy ra \(\widehat {BOC} = \widehat A + \widehat {ABD} + \widehat {DCO} > \widehat A\)

Vậy \(\widehat {BOC} > \widehat A\)


Ví dụ 3: Cho tam giác ABC có \(\widehat A = {60^0},\widehat O = {50^0}.\) Tia phân giác của góc B cắt AC cắt ở D. Tính \(\widehat {ADB},\widehat {CDB}.\)

Giải

Xét tam giác ABC có \(\widehat B = {180^0} – (\widehat A – \widehat C) = {180^0} – ({60^0} + {50^0}) = {70^0}\)

Do BD là tia phân giác của góc B nên

\(\widehat {{B_1}} = \frac{1}{2}\widehat B = \frac{1}{2}{.70^0} = {35^0}\)

\(\widehat {ADB} = \widehat {{B_1}} + \widehat C = {35^0} + {50^0} = {85^0}\)

Suy ra \(\widehat {BDC} = {180^0} – \widehat {ADB} = {180^0} – {85^0} = {95^0}\)

Vậy \(\widehat {ADB} = {85^0},\widehat {CDB} = {95^0}.\)

Bài tập minh họa


Bài 1: Cho tam giác ABC có \(\widehat B = \widehat C = {50^0}.\) Gọi Am là tia phân giác của góc ngoài ở điểm A. Hãy chứng minh tỏ rằng Am// BC.

Giải

Ta có \(\widehat {CAD}\) là góc ngoài của tam giác ABC nên

\(\widehat {CAD} = \widehat B + \widehat C = {50^0} + {50^0} = {100^0}\)

Am là tia phân giác của góc CAD nên:

\(\widehat {{A_1}} = \widehat {{A_2}} = \frac{1}{2}\widehat {CAD} = \frac{1}{2}{.100^0} = {50^0}\)

Hai đường thẳng AM và BC tạo với AC hai góc so le trong bằng nhau

\(\widehat {{A_1}} = \widehat C = {50^0}\) nên suy ra AM // BC.


Bài 2: Chứng minh rằng tổng ba góc ngoài của một tam giác bằng 4 vuông.

Giải

Gọi các góc ngoài của tam giác ABC là \(\widehat {{A_1}};\widehat {{B_1}};\widehat {{C_1}}\)

Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}\widehat A + \widehat {{A_1}} = {180^0}\\\widehat B + \widehat {{B_1}} = {180^0}\\\widehat C + \widehat {{C_1}} = {180^0}\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}\widehat {{A_1}} = {180^0} – \widehat A\\\widehat {{B_1}} = {180^0} – \widehat B\\\widehat {{C_1}} = {180^0} – \widehat C\end{array} \right.\)

Cộng ba đẳng thức trên vế với vế ta có:

\(\widehat {{A_1}} + \widehat {{B_1}} + \widehat {{C_1}} = {180^0} – \widehat A + {180^0} – \widehat B + {180^0} – \widehat C\)

\(\begin{array}{l} = {3.180^0} – (\widehat A + \widehat B + \widehat C)\\ = {3.180^0} – {180^0}\end{array}\)

Vì tổng các góc \(\widehat A + \widehat B + \widehat C = {180^0}\)

\( = {2.180^0} = 4v\)


Bài 3: Tìm số đo các góc của tam giác ABC biết rằng: \(21\widehat A = 14\widehat B = 6\widehat C.\)

Giải

Từ giả thiết: \(21\widehat A = 14\widehat B = 6\widehat C\) ta suy ra:

\(\frac{{21\widehat A}}{{42}} = \frac{{14\widehat B}}{{42}} = \frac{{6\widehat C}}{{42}} \Rightarrow \frac{{\widehat A}}{2} = \frac{{\widehat B}}{3} = \frac{{\widehat C}}{7}\)

Theo tính chất của dãy tỉ số bằng nhau ta có:

\(\frac{{\widehat A}}{2} = \frac{{\widehat B}}{3} = \frac{{\widehat C}}{7} = \frac{{\widehat A + \widehat B + \widehat C}}{{2 + 3 + 7}} = \frac{{\widehat A + \widehat B + \widehat C}}{{12}}\)

Vì \(\widehat A = \widehat B = \widehat C = {180^0}\)nên ta suy ra:

\(\frac{{\widehat A}}{2} = \frac{{\widehat B}}{3} = \frac{{\widehat C}}{7} = \frac{{{{180}^0}}}{{12}} = {45^0}\)

Vậy \(\widehat A = {30^0},\,\,\widehat B = {45^0},\,\,\widehat C = {105^0}\)